Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 28.12.2012 (10:25)

  Dane:
  L = 0,5 m - odległość szczelin Taka odległość szczelin jest nierealna!
  lambda = 633 nm = 633 * 10^(-9) m - długość fali, czytaj ^ jako "do potęgi"
  d = 2 mm = 0,002 m - odległość prążków na ekranie.
  Szukamy x - odległość ekranu.
  
  Rysunek jest w załączniku.
  Szczeliny położone są w punktach A i B, kolejne dwa prążki interferencyjne tworzą się w punktach C i D. Odległość L do długość odcinka AB, odległość d to długość odcinka CD.
  Szukane 'x' to długość poziomej, cienkiej kreski.
  
  Napiszmy warunek na powstanie sąsiednich prążków:
  
  L\sin\alpha = n\lambda\qquad\mbox{oraz}\qquad L\sin(\alpha+\Delta\alpha) = (n+ 1)\lambda
  
  Podzielmy oba równania przez L i odejmijmy stronami pierwsze od drugiego:
  
  \sin(\alpha+\Delta\alpha) - \sin\alpha = \frac{\lambda}{L}
  
  Teraz zrobimy dwa założenia:
  1) Kąt alfa jest mały (to znaczy ekran jest daleko w porównaniu z odległością pasków od centrum ekranu, wtedy paski są rozmieszczone w prawie równych odległościach
  2) Różnica kątów delta_alfa jest jeszcze duuużo mniejsza.
  Zastosujemy wzór na różnicę sinusów:
  
  \sin(\alpha+\Delta\alpha) - \sin\alpha =
  
  =2\sin\left(\frac{\alpha+\Delta\alpha-\alpha}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha+\Delta\alpha+\alpha}{2}\right)\,\approx\,\Delta\alpha\cdot\cos\alpha
  
  gdzie w przybliżeniu po prawej stronie zaniedbaliśmy delta_alfa w porównaniu z alfa, natomiast sinus kąta zamieniliśmy na kąt w radianach, co jest prawdą dla bardzo małych kątów.
  
  Teraz kolejne przybliżenie: Niech r będzie odległością odcinka CD od środka odcinka AB.
  Wtedy:
  
  delta_alfa = d / r (w przybliżeniu) oraz x = r cos(alfa) czyli r = x / cos(alfa)
  
  Wobec tego delta_alfa = d / x * cos(alfa). Wstawiamy to do przybliżenia różnicy sinusów w drugim wzorze od góry:
  
  \frac{d}{x}\cos^2\alpha= \frac{\lambda}{L} \qquad\mbox{zatem}\qquad x \,\approx\,\frac{Ld}{\lambda}
  
  Teraz skorzystaliśmy z założenia, że kąt alfa jest mały i jego kosinus jest praktycznie jedynką.
  
  Podstawiamy dane. Trzeba pamiętać o zamianie mm oraz nm na metry, zostało to zrobione w danych. Wtedy wymiarem wyniku są metry.
  
  x = \frac{0{,}5\cdot 0{,}002}{633\cdot 10^{-9}}\,\approx\,1580\,\mbox{m}
  
  czyli ponad 1,5 km!. Dlatego napisałem na początku, że odległość szczelin jest nierealna, może chodziło o 0,5 mm, wtedy wynik maleje 1000 razy.
  Ale w każdym razie założenie o małym kącie alfa jest całkowicie uzasadnione.

  Załączniki

  • interferencja.pdf (19 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie