Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 25.12.2012 (10:41)

  4.42a)
  Zakładamy wszystkie mianowniki niezerowe czyli:
  (1) 2a + ax = a(2 + x) ≠ 0 ; co daje a ≠ 0 oraz x ≠ -2
  (2) 2x - x^2 = x(2 - x) ≠ 0 ; co daje x ≠ 0 oraz x ≠ 2
  (3) x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) ≠ 0 ; co daje już wyżej wyłączone wartości x.
  
  Lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  \frac{2x-x^2-(2a+ax)}{(2a+ax)(2x-x^2)}=\frac{2(a+3)}{x^3-4x}
  
  Zauważ, że można to zapisać jako:
  
  \frac{2x-x^2-(2a+ax)}{(2a+ax)x(2-x)}=\frac{2(a+3)}{x(x-2)(x+2)}
  
  i skrócić x oraz x - 2 w mianownikach. Potem mnożymy proporcję "na krzyż", porządkujemy wyrazy z tymi samymi potęgami x. Licznik, który ma być równy zero, wychodzi prosto:
  
  x^2 + (a - 2)x - 2a(a + 2) = 0
  
  Rozwiązujemy to równanie kwadratowe i dostajemy:
  
  x_1 = -2a;\qquad x_2 = a + 2
  
  Teraz zobacz warunki (1...3). Ponieważ a ≠ 0 więc x ≠ 0 oraz x ≠ 2, to już mamy wyłączone. Dochodzi (ponieważ x2 nie może być zerem) warunek a ≠ -2, którego nie było. Ale wstawienie a = -2 do początkowego równania przekształca je w:
  
  \frac{x - 4}{x^2 - 4} = 0
  
  co wyklucza 2 i -2 jako wartości x, to już mamy. Czyli dziedzina rozwiązania jest taka, jak w punktach 1...3.
  oraz jednocześnie nie może być a = -2 oraz x = -2 lub +2.
  ==============================
  
  4.42b)
  Wykluczamy zera w mianownikach czyli
  (1) a^3 + 1 ≠ 0 ; co daje a ≠ -1
  (2)a(x - 1) - a^2 + x ≠ 0 co daje x ≠ a ; dla każdego 'a'.
  Mnożymy krzyżowo proporcję, porządkujemy i mamy (sporo się poskraca, dzielimy przez 'a', o tym dalej)
  
  2a^3x-2ax - 2a^5+2a = 0\qquad\mbox{zatem}\qquad x = a^2 + 1
  
  Zauważ, że to zapewnia spełnienie warunku (2), bo równanie a = a^2 + 1 nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast warunek (1) wyklucza x = 2 gdyby a = -1.
  
  Jeśli a = 0 równanie jest tożsamością spełnioną dla każdego x różnego od zera
  ==============================
  
  
  4.42c)
  Wykluczamy zera w mianownikach czyli
  (1) x - a ≠ 0 ; co daje x ≠ a
  (2) x - 1 ≠ 0 ; co daje x ≠ 1
  (3) a ≠ 0
  Lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika, mnożymy "na krzyż" proporcję, upraszczamy, co się da, i dostajemy:
  
  (a+1)x^2 - (a^2+4a+1)x + 2a^2+2a = 0
  
  Rozwiązanie tego równania kwadratowego daje:
  
  x_1 = a + 1;\qquad x_2 = \frac{2a}{a+1}
  
  Sprawdźmy teraz warunki. Z (1) i rozwiązania x2 musimy dodatkowo wyłączyć a = 1, gdyż wtedy x = a i pierwszy mianownik w przykładzie (c) jest zerem. To wyłącza przy okazji x = 1, ale to już mamy w warunku (2). Także, z warunku (3) i rozwiązania x2 musimy wyrzucić x = 0.
  Z powodu rozwiązania x2 trzeba dla wartości a = -1 wziąć tylko rozwiązanie x = 0, gdyż wtedy nie mamy równania kwadratowego lecz liniowe i napisany powyżej wzór przechodzi w:
  -2x = 0
  ==============================
  
  4.42d)
  Wykluczamy zera w mianownikach czyli
  (1) a^2 x -2a = a(ax - 2) ≠ 0 ; co daje a ≠ 0 oraz ax ≠ 2
  (2) ax ≠ 2 ; to już było powyżej
  (3) a ≠ 0 ; to już było powyżej
  Jak poprzednio - lewa strona do wspólnego mianownika, mnożymy krzyżowo itd.
  Wychodzi:
  
  (a-1)x^2-2x-a-1=0
  
  co ma 2 rozwiązania:
  
  x_1 = -1;\qquad x_2=\frac{a+1}{a-1}
  
  Rozwiązanie x2 wyklucza dodatkowo a = 1, warunek a ≠ 0 wyklucza !!! rozwiązanie x = -1, natomiast warunek ax ≠ 2 nie przeszkadza, bo równanie:
  a(a+1)/(a-1) = 2 nie ma rozwiązań.
  Czyli rozwiązaniem równania jest tylko x2, przy czym 'a' jest różne od 0 i 1.
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie