Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 19.12.2012 (06:04)

  4.57
  a)
  Wykluczamy x = 0
  Przenosimy 1/x na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  (x |x| - 1) / x > 0
  
  Dla x > 0 jest |x| = x, nierówność przechodzi w:
  (x^2 - 1) / x > 0
  Z założenia mianownik jest dodatni więc licznik ma być dodatni.
  x^2 - 1 > 0 daje x w przedziale (-oo, -1) U (1, +oo), a ponieważ x > 0
  ta część rozwiązania daje x w przedziale (1, +oo)
  
  Dla x < 0 jest |x| = -x, nierówność przechodzi w:
  (-x^2 - 1) / x > 0
  Z założenia mianownik jest ujemny więc licznik ma być ujemny.
  Ale licznik jest równy -(x^2 + 1) więc jest zawsze ujemny.
  Ta część rozwiązania daje x w przedziale (-oo, 0)
  
  Łączymy oba przypadki. x należy do (-oo, 0) U (1, +oo)
  =====================
  
  b)
  Wykluczamy x = 0
  Przenosimy 2/x na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  (x |x - 1| - 2) / x < 0
  
  Dla x > 0 jest |x| = x, nierówność przechodzi w:
  (x^2 - x - 2) / x < 0
  Z założenia mianownik jest dodatni więc licznik ma być ujemny
  x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) < 0 daje x w przedziale (-1, 2), ale x > 0 więc
  ta część rozwiązania daje x w przedziale (0, 2)
  
  Dla x < 0 jest |x| = -x, nierówność przechodzi w:
  (-x^2 + x - 2) / x < 0
  Z założenia mianownik jest ujemny więc licznik ma być dodatni.
  Ale równanie -x^2 + x - 2 nie ma rozwiązań. Ponieważ przy x^2 jest znak minus parabola opisana tym równaniem leży pod osią X i licznik jest zawsze ujemny.
  Ta część rozwiązania daje zbiór pusty
  
  Łączymy oba przypadki. x należy do (0, 2)
  =====================
  
  c)
  Wykluczamy x = 0 sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  (x |x + 2| - 3) / x > 0
  
  Dla x >= -2 jest |x + 2| = x + 2, nierówność przechodzi w:
  (x^2 + 2x - 3) / x > 0
  Nierówność jest spełniona
  Albo gdy x > 0 oraz mianownik
  x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) > 0 ; co daje x w przedziale (1, +oo).
  Albo gdy x < 0 oraz mianownik
  x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) < 0 ; co daje x w przedziale (-3, 0).
  Ale x >= -2 więc ta część rozwiązania daje przedział <-2, 0) U (1, +oo)
  
  Dla x < -2 jest |x + 2| = -x - 2, nierówność przechodzi w:
  (-x^2 - 2x - 3) / x > 0
  Równanie -x^2 -2x - 3 nie ma rozwiązań. Ponieważ przy x^2 jest znak minus parabola opisana tym równaniem leży pod osią X i licznik jest zawsze ujemny.
  Mianownik ma być ujemny i to jest prawdą dla x < -2
  Ta część rozwiązania daje przedział (-oo, -2)
  
  Łączymy oba przypadki. x należy do (-oo, 0) U (1, +oo)
  =====================
  
  d)
  Wykluczamy x = 0, przenosimy 2, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  (|x - 1| - 2x) / x >= 0
  
  Dla x >= 1 jest |x - 1| = x -1, nierówność przechodzi w:
  (-x - 1) / x >= 0
  Dla x >= 1 licznik jest ujemny, mianownik dodatni
  Ta część rozwiązania daje zbiór pusty.
  
  Dla x < 1 jest |x - 1| = -x +1, nierówność przechodzi w:
  (-3x + 1) / x >= 0
  Albo x > 0 oraz -3x + 1 >= 0 czyli x należy do (0, 1/3>
  Albo x < 0 oraz -3x + 1 <= 0 co daje sprzeczność
  Ta część rozwiązania daje przedział (0, 1/3>
  
  Łączymy oba przypadki. x należy do (0, 1/3>
  =====================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie