Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.12.2012 (14:35)

  Rozwiążemy zadanie w 2 etapach. Patrz rysunek w załączniku.
  
  1) Rysunek po lewej stronie.
  Wewnątrz równobocznego trójkąta ABC mamy punkt P, wybrany dowolnie.
  Suma odległości punktu P od boków trójkąta ABC wynosi:
  
  s = |PM| + |PK| + |PN|
  
  Przesuwamy punkt P wzdłuż odcinka PN do położenia N tak, jak wskazuje strzałka (punkt N leży na boku AC).
  Teraz suma odległości wynosi:
  
  s1 = |NE| + |ND|
  
  Dorysowałem dwie czerwone kreski GP i HP pod kątami prostymi do ND i NE. Zauważ, że kąt NPG = 30 stopni, ponieważ: GP jest prostopadłe do ND, które jest prostopadłe do BC, więc GP jest równoległe do BC.
  Ale NP jest równoległe do wysokości trójkąta równobocznego opuszczonej z punktu B na bok BC (nie dorysowałem aby nie gmatwać rysunku). Ta wysokość dzieli kąt B na połowy, dlatego kąt NPG = 30 stopni.
  Analogicznie kąt NPH = 30 stopni.
  
  Wobec tego |NG| = |NG| = (1/2)|NP (gdyż sinus 30 stopni = 1/2)
  Gdy przesuwamy punkt P do N to tracimy odcinek NP, ale zyskujemy odcinki NG i NH, których suma wyrównuje utratę NP.
  
  Przesunięcie punktu P do boku trójkąta w opisany sposób nie zmienia sumy długości rzutów.
  s= s1
  
  2) Rysunek po prawej stronie.
  Weźmy punkt R na boku trójkąta i przesuńmy go jak wskazuje strzałka do punktu A.
  Trójkąty: AFC, AER, CDR są podobne, prostokątne i mają mniejszy kąt ostry równy 30 stopni. Oznaczmy przez 'k' stosunek dłuższej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w takim trójkącie (aby nie ciągnąć za sobą pierwiastka(3) / 2).
  
  Napiszmy dwa równania:
  |ER| = k * |AR|
  |DR| = k * |CR|
  ------------------ dodajemy stronami
  |ER| + |DR| = k * (|AR| + |CR|) = k * |AC| ; bo AR i CR dają odcinek AC
  
  Czyli niezależnie od położenia punktu R suma |ER| + |DR| jest taka sama.
  
  Skoro niezależnie to także gdy R = A. Ale wtedy AF jest wysokością trójkąta ABC.
  
  Wobec tego suma |ER| + |DR| jest równa wysokości trójkąta, a na podstawie części (1) jest ona równa sumie długości rzutów punktu P na ramiona trójkąta, c.b.d.o.

  Załączniki

  • trojkat3.pdf (26 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie