Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 11.12.2012 (08:13)

  Zadanie 4.11
  a)
  Mianownik rozkłada się w znany sposób (x - 1)(x^2 + x + 1) i ma tylko 1 pierwiastek.
  Łatwo sprawdzić przez podstawienie, że x = 1 jest też pierwiastkiem licznika.
  Dzielimy licznik przez x - 1 i dostajemy 5x + 4 (ten krok jest natychmiastowy: zapisuje się licznik jako:
  (x - 1)(5x + A) i od razu widać, że A = 4 z powodu wyrazu wolnego równego -4).
  Wynik: (założenie: x różne od 1)
  
  \frac{5x+4}{x^2 + x + 1}
  
  b)
  Licznik = x^4(x^2 + 1) + (x^2 + 1) = (x^4 + 1)(x^2 + 1)
  Mianownik = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)
  Skracamy przez wspólny czynnik x^2 + 1.
  Wynik (nie ma żadnych założeń)
  
  \frac{x^4+1}{x+1}
  
  c)
  Mianownik nie ma rzeczywistych pierwiastków więc szukamy podzielnika w postaci:
  x^2 + ax + b.
  Rozkładamy licznik. Podstawiamy y = x^2 i mamy: y^2 + y - 2 = 0
  Ze wzorów Viete'a oczywiście, nie z żadnej "delty" wynika: y1 = -2, y2 = 1
  Licznik = (y + 2)(y - 1) = (x^2 + 2)(x^2 - 1) = (x^2+2)(x+1)(x-1).
  Wspólnym czynnikiem jest x^2 + 2, bo x+1 lub x-1 zmuszałoby mianownik do posiadania pierwiastków, których nie ma. Trzeba rozłożyć mianownik.
  Aby sobie ułatwić życie korzystamy ponownie z y = x^2 i przedstawiamy mianownik jako:
  
  y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 + Ay + 4) [ domyślasz się, dlaczego "4" a nie jakieś "B"?]
  Wymnażamy, porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach y
  y^3 + (A - 2)y^2 + (2A + 4)y + 8 ; stąd mamy A = -2
  Wracamy do 'x'. Wynik:
  
  \frac{x^2-1}{x^4-2x^2+4}
  
  d)
  Od razu podstawiamy y = x^2, bo występuje tylko x^4, x^2.
  Teraz skracamy ułamek:
  
  (y^2 - y - 12) / (y^2 + 8y + 15)
  Używając wzorów Viete'a rozkładamy:
  Licznik = (y - 4)(y + 3)
  Mianownik = (y + 5)(y + 3)
  Skracamy wspólny czynnik y + 3. Wynik:
  
  \frac{x^2-4}{x^2 + 5}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie