Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 10.12.2012 (10:52)

  a)
  Wykres w załączniku.
  Rozwiązaniem równania f(x) = 2 jest x = 1.
  Faktycznie, f(1) = | 4 / 1 - 2 | = | 2 | = 2
  
  Pytanie, czy wyrażenie w |...| może być równe -2, bo wtedy f(x) też jest 2.
  Piszemy: 4 / x - 2 = -2, ale to oznacza, że 4 / x = 0, co nie zachodzi dla żadnego skończonego x, więc odczytane rozwiązanie jest jedyne.
  
  b)
  Analizujemy dwie sytuacje, uwzględniając, że "p" ma być dodatnie, bo taki jest warunek zadania
  
  1) Albo 4 / x - p jest nieujemne, czyli:
  
  4 / x - p >= 0 ; co daje 4 / x >= p i mamy znów dwie sytuacje:
  
  gdy x > 0 to x <= 4 / p lub
  gdy x < 0 to x >= 4 / p ; ale to jest sprzeczne ponieważ p > 0
  
  Warunek (1) jest spełniony w przedziale (0, 4/p>
  Pozbywamy się znaków |...| i mamy równanie:
  
  4 / x - p = p ; z czego wynika x = 2 / p; czyli jedno rozwiązanie. Należy ono do przedziału znalezionego powyżej.
  
  2) Albo 4 / x - p jest ujemne, czyli poza znalezionym wyżej przedziałem (0, 4/p>.
  Wtedy |4/x - p| = -4/x + p ; mamy równanie:
  
  -4/x + p = p ; czyli -4/x = 0; co jest nieprawdą dla skończonego x.
  
  Czyli mamy dokładnie jedno rozwiązanie x = 2 / p.
  Przeanalizuj wykres z załącznika - ten przedział (0, 4/p>, w tym wypadku to (0,2> jest tym przedziałem, gdzie funkcja maleje, aby osiągnąć f(x) = 0 w punkcie x = 2. Jedynie tutaj f(x) może przeciąć poziomą linię x = 2. Dla pozostałych wartości x linia ta jest poziomą asymptotą, odpowiada to sytuacji (2) powyżej.
  
  (Nawiasem mówiąc równanie: |4/x-p| = -p też ma tylko jedno rozwiązanie dla p < 0, ale zadanie tego nie dotyczy. Dla p = 0 równanie nie ma rozwiązań.)

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie