Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.12.2012 (09:49)

  Zadanie 3.95
  Ja bym napisał:
  
  (x - x_1x_2)(x - x_1x_3)(x - x_2x_3) = 0
  
  Pierwiastki tego równania są jak na dłoni w postaci wymaganych iloczynów i koniec zadania :)
  Ale podejrzewam, że nie o to chodzi i przyjdzie pokombinować z wzorami Viete'a.
  Wymnażamy nawiasy w wyrażeniu powyżej, co daje:
  
  x^3 - (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x^2 + (x_1^2x_2x_3 + x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2)x - x_1^2x_2^2x_3^2=
  
  x^3 - (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x^2 + x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)x - (x_1x_2x_3)^2 = 0
  
  Teraz wzory Viete'a. Jeśli mamy równanie:
  
  ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
  
  to pierwiastki x1, x2, x3 tego równania spełniają takie równości:
  
  \left\{ \begin{array}{l} x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\\ ~\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a} ~\\ x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}\end{array} \right.
  
  U nas a = 1; b = -2; c = 1; d = 1 (patrz równanie w zadaniu). Zauważ, że odpowiednie sumy i iloczyny pierwiastków występują we wzorze, który powstał po wymnożeniu nawiasów początkowego równania. Wstawiamy zamiast nich odpowiednie liczby b,c,d.
  
  x^3 - 1x^2 + 1\cdot (-2)x - 1^2 = 0
  
  czyli rozwiązanie to:
  
  x^3 - x^2 - 2x - 1 = 0

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie