Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 5.12.2012 (08:36)

  Zadanie 3.119
  d)
  Gdy wyrażenie w |...| jest nieujemne pozbywamy się | |
  Warunek:
  x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2) >= 0 daje x >= -2, co przy okazji włącza x = 0.
  Nierówność przechodzi w:
  x^3 + 2x^2 - 9x - 18 < 0 ; czyli
  x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x^2 - 9)(x + 2) = (x + 3)(x + 2)(x - 3) < 0
  Miejsca zerowe to x1 = -3; x2 = -2; x3 = 3.
  Z powodu "warunku" interesują nas tylko x >= -2.
  Wtedy aż do x = 3 dwa pierwsze nawiasy są dodatnie, trzeci - i całość ujemna
  więc z tej części mamy x w przedziale (-2, 3)
  
  Gdy wyrażenie w |...| jest ujemne zamieniamy |...| na -(...)
  Warunek:
  x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2) < 0 daje x < -2
  Nierówność przechodzi w:
  -(x^3 + 2x^2) - 9x - 18 < 0 ; czyli
  x^2(x + 2) + 9(x + 2) = (x^2 + 9)(x + 2) > 0
  Tylko drugi nawias jest ważny (pierwszy jest zawsze dodatni), ale to daje x > -2
  więc sprzeczne z warunkiem.
  
  W rezultacie x należy do (-2, 3)
  ===================
  
  e)
  Patrzymy kiedy x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) >= 0
  Albo x = 0, albo x >= 2.
  Nierówność przechodzi w:
  x^3 - 2x^2 - 3x^2 = x^3 - 5x^2 =x^2(x - 5) >= 0
  Albo x = 0, albo x >= 5, co przy okazji zapewnia spełnienie warunku.
  
  Gdy x^3 - 2x^2 < 0 czyli gdy x < 2 dostajemy nierówność:
  -x^3 + 2x^2 - 3x^2 >= 0 ; mnożymy przez -1, zmieniamy znak nierówności
  x^3 + x^2 = x^2(x + 1) <= 0
  Albo x = 0, albo x <= -1 co przy okazji zapewnia spełnienie warunku.
  
  Sumowanie obu przypadków daje - uwaga: zero należy do rozwiązania!
  x należy do (-oo, -1> U { 0 } U <5, +oo)
  ===================
  
  f)
  Pozbywamy się |..| gdy x^2 - 1 >= 0 czyli gdy (x - 1)(x + 1) >= 0 czyli gdy
  x należy do (-oo, -1> U <1, +oo)
  Nierówność przechodzi w:
  x^2 - 1 >= x^3 - x ; wszystko na prawą stronę, uwaga na znak!
  x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) =(x^2 - 1)(x - 1) <= 0
  Pierwszy nawias jest nieujemny z powodu "warunku", drugi daje x <= 1.
  W połączeniu z warunkiem daje to:
  albo x = 1, albo x <= -1
  
  Gdy x^2 - 1 < 0 czyli w przedziale (-1, 1) mamy:
  -x^2 + 1 >= x^3 - x ; czyli, podobnie jak poprzednio:
  x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - (x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) <= 0
  Pierwszy nawias jest ujemny z powodu "warunku" drugi musi być nieujemny,
  co daje x >= -1
  W połączeniu z warunkiem mamy przedział <-1, 1)
  
  Sumowanie obu przypadków daje (uwaga: +1 należy do wyniku!)
  x należy do (-oo, 1>
  ===================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie