Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  banpioszy 2.12.2012 (19:50)

  a)
  x³ – x² – 14x + 24 < 0
  W(x) = x³ – x² – 14x + 24
  W(x) ma pierwiastki wśród podzielników liczby 24 : ± 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  Sprawdzam:
  x = 1 ... nie pasuje , bo W(1) = 1³ –1² – 14 · 1 + 24 = 10, a nie zero.
  Sprawdzam :
  x = 2
  W(2) = 2³ – 2² – 14 · 2 + 24 = 8 – 4 – 28 +24 = 0
  Zgadza się, pierwszym pierwiastkiem W(x) jest x1 = 2.
  Po podzieleniu wielomianu W(x) przez (x – 2) otrzymuję : ( x² + x – 12) .
  Szukam pierwiastków ( x² + x – 12) .
  Δ = 49
  √Δ = √49 = 7
  x2 = (-1 -7):2 = (- 4)
  x3 = (-1 + 7):2 = 3
  Zatem W(x) = x³ – x² – 14x + 24 można zapisać:
  W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3)
  Rozpatruję znak wielomianu gdy wezmę x z wnętrza następujących przedziałów w pobliżu miejsc zerowych :
  przedział 1) x < (- 4) ........... np.: x = (-5)
  przedział 2) - 4 < x < 2 .........np.: x = (- 3)
  przedział 3) 2 < x < 3 ...........np.: x = 2,5
  przedział 4) x > 3 ................np.: x = 5
  Dla x < (-4) wielomian W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3) < 0
  Dla ( - 4 < x < 2) wielomian W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3) > 0
  Dla ( 2 < x < 3 ) wielomian W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3) < 0
  Dla x >3 wielomian W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3)>0
  ....................................
  Odpowiedź:
  Wielomian W(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3) jest mniejszy od zera dla
  x < (-4) oraz dla ( 2 < x < 3 ).
  Inaczej: Nierówność x³ – x² – 14x + 24 < 0 jest spełniona
  dla liczb rzeczywistych x έ [ ( - ∞ ; - 4 ) U (2 ; 3) ]
  
  .............................................
  b)
  x³ – 9x² + 23x – 15 > 0
  Szukam pierwiastka wśród podzielników liczby 15: tzn. ± 1, 3, 5, 15.
  Niech x = 1
  W(1) = 1³ – 9 · 1² + 23 · 1 – 15 = 1 – 9+ 23 – 15 = 0
  Zatem x1 = 1
  Dzielę :
  (x³ – 9x² + 23x – 15) : (x – 1) = x² – 8 x + 15
  x² – 8 x + 15 = 0
  Δ = 64 – 60 = 4
  √Δ = √4 = 2
  X2 = (8 – 2) : 2 = 3
  X3 = (8 + 2) : 2 = 5
  W(x) = x³ – 9x² + 23x – 15 mogę zapisać:
  W(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
  Rozpatruję przedziały:
  1)x < 1
  2)1 < x < 3
  3)3 < x < 5
  4)x > 3
  Dla x z przedziału 1) wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 2) wielomian W(x) > 0
  Dla x z przedziału 3) wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 4) wielomian W(x) > 0
  ......................
  Odpowiedź:
  x³ – 9x² + 23x – 15 > 0 dla liczb rzeczywistych x z przedziałów 2) i 3).
  x έ [ ( 1 ; 3 ) U (5 ; + ∞ ) ]
  .................................................
  c)
  4x³ – 7x + 3 > 0
  3 jest podzielne przez 1 i 3.
  Niech x = 1
  W(1) = 4 · 1³ – 7 · 1 + 3 = 4 – 7 + 3 = 0
  ...........
  X1 = 1
  Dzielę:
  (4x³ – 7x + 3) : (x – 1) = 4x² + 4x – 3
  4x² + 4x – 3 = 0
  Δ = 16 – 4 · 4 · ( - 3) = 16 + 48 = 64
  √Δ = √64 = 8
  X2 = (- 4 – 8) : (2 · 4) = - 12 : 8 = (- 1,5)
  X3 = ( - 4 + 8) : (2 · 4) = 4 : 8 = 0,5
  ..........
  Mam trzy pierwiastki:
  X1 = 1
  X2 = (- 1,5)
  X3 = 0,5
  ..........
  W(x) = 4(x + 1,5)(x – 0,5)(x – 1)
  Liczba 4 jest dodatnia, więc rozpatruję:
  Przedziały:
  1)x < (- 1,5)
  2)(- 1,5) < x < 0,5
  3)0,5 < x < 1
  4)x > 1
  Dla x z przedziału 1) np. (- 2) wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 2) np. 0 wielomian W(x) > 0
  Dla x z przedziału 3) np. 0,75 wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 4) np. 5 wielomian W(x) > 0
  .....................
  Odpowiedź :
  4x³ – 7x + 3 > 0 dla x έ [ ( - 1,5; 0,5 ) U (1 ; + ∞ ) ]
  ....................................................
  d)
  x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30 > 0
  Szukam dwóch pierwiastków spośród podzielników liczby 30.
  Sprawdziłem x = 1 oraz x = (- 2) ... zerują wielomian .
  W(1) = 0 ,
  stąd X1 = 1
  W(- 2) = 0 ,
  stąd X2 = (- 2)
  Dzielę W(x) = (x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30) przez [(x – 1)(x + 2)]
  (x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30) : [(x – 1)(x + 2)]
  (x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30) : (x² + x – 2) = x² + 8x + 15
  x² + 8x + 15 = 0
  Δ = 64 – 4 · 1 · 15 = 64 – 60 = 4
  √Δ = √4 = 2
  
  X3 = (- 8 – 2) : 2 = (- 5)
  X4 = (- 8 + 2) : 2 = (- 3)
  Mamy cztery pierwiastki:
  X1 = 1
  X2 = (- 2)
  X3 = (- 5)
  X4 = (- 3)
  
  Rozpatruję przedziały:
  1)x < ( - 5)
  2)(- 5 < x < – 3 )
  3)(- 3 < x < - 2 )
  4)( - 2 < x < 1)
  5)x > 1
  W(x) = (x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30) mogę zapisać jako:
  W(x) = (x + 5)(x + 3)(x + 2)(x – 1)
  Dla x z przedziału 1) np. (- 10) wielomian W(x) > 0
  Dla x z przedziału 2) np. (- 4) wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 3) np. (- 2,5) wielomian W(x) > 0
  Dla x z przedziału 4) np. 0 wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 5) np. 10 wielomian W(x) > 0
  ...........................
  Odpowiedź:
  W(x) = x^4 + 9x³ + 21x²- x – 30 > 0 dla liczb rzeczywistych
  x έ [ ( - ∞ ; - 5) U (-3 ; -2) U (1 ; + ∞ )]
  .................................
  e)
  x^4 + 6x³ + 11x² + 18x + 24 < 0
  znalazłem dwa ujemne pierwiastki (ujemne bo wszędzie są plusy (+) w wielomianie.
  X1 = (- 2)
  X2 = (- 4)
  dzielę:
  ( x^4 + 6x³ + 11x² + 18x + 24 ) : (x + 2)(x + 4)
  ( x^4 + 6x³ + 11x² + 18x + 24) : (x² + 6x + 8 ) = (x² + 3)
  (x² + 3) nigdy nie jest równy zero
  (x² + 3) > 0
  Więc
  W(x) = (x + 2)(x + 4)(x² + 3)
  W(x) mniejsze od zera gdy (x + 2) < 0 lub (x + 4) < 0,
  a to zachodzi, gdy x < (-2) lub x < (- 4).
  Rozpatruję przedziały:
  1) x < ( - 4)
  2) (- 4 < x < - 2)
  3) x > (- 2)
  Dla x z przedziału 1) np. (- 10) wielomian W(x) > 0
  Dla x z przedziału 2) np. (- 3) wielomian W(x) < 0
  Dla x z przedziału 3) np. 0 wielomian W(x) > 0
  ................
  Odpowiedź:
  W(x) = x^4 + 6x³ + 11x² + 18x + 24 < 0 dla liczb rzeczywistych
  x έ (-4 ; -2)
  .................................
  ostatnie: f) podeślę na „prive”

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    banpioszy 2.12.2012 (20:39)

    f)
    x^4 – 8x³ + 14x² – 13x + 6 > 0
    Dzielniki liczby 6 to : ± 1, 2, 3, 6.
    Widać, że x = 1, bo
    W(1) = 1^4 – 8 · 1³ + 14 · 1² – 13· 1 + 6 =
    = 1 – 8 + 14 – 13 + 6 =
    = 21 – 21 = 0
    X1 = 1
    dzielę :
    (x^4 – 8x³ + 14x² – 13x + 6) : (x – 1) = (x³– 7x² + 7x – 6)
    (x³– 7x² +7x – 6) ma pierwiastek x = 6
    X2 = 6
    dzielę:
    (x³– 7x² + 7x – 6) : (x – 6) = (x² – x + 1)
    x² – x + 1 = 0
    Δ = 1 – 4 · 1 · 1 = 1 – 4 = – 3
    √Δ nie istnieje , bo Δ < 0.
    Brak pierwiastków rzeczywistych.
    (x² – x + 1) zawsze większe od zera.
    ................
    x^4 – 8x³ + 14x² – 13x + 6 > 0
    (x – 1)(x – 6)(x² – x + 1) > 0
    powyższe zachodzi, gdy:
    (x – 1)(x – 6) > 0
    a to zachodzi, gdy:
    (x – 1) > 0 oraz (x – 6) > 0 ... oba dodatnie
    albo:
    (x – 1)< 0 oraz (x – 6) < 0.... oba ujemne
    ...............
    ( x > 1 i jednocześnie x > 6) ; stąd x >6
    lub
    ( x < 1 i jednocześnie x < 6) ; stąd x < 1
    ............
    sumując:
    Nierówność : x^4 – 8x³ + 14x² – 13x + 6 > 0
    spełniają liczby rzeczywiste mniejsze od 1 i większe od 6.
    x έ [ ( -∞ ; 1 ) U (6 ; + ∞ ) ]