Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.11.2012 (09:31)

  Zadanie 3.76
  a)
  W(x) = x^2(x + 4) - 2(x + 4) = (x^2 - 2)(x + 4) =
  = [x - pierwiastek(2)][x + pierwiastek(2)][x + 4] ; stąd:
  x1 = -pierwiastek(2); x2 = +pierwiastek(2); x3 = -4
  
  b)
  W(x) = x(x^2 + 4) - 3(x^2 + 4) = (x - 3)(x^2 + 4) ; stąd 1 pierwiastek
  x1 = 3. Drugi nawias jest nierozkładalny.
  
  c)
  W(x) = x^2(x^3 - 1) + 4(x^3 - 1) = (x^2 + 4)(x^3 - 1) =
  = (x^2 + 4)(x - 1)(x^2 + x + 1) ; stąd 1 pierwiastek
  x1 = 1. Pozostałe nawiasy są nierozkładalne.
  
  d)
  W(x) = 3x(x^2 - 4) + 5(x^2 - 4) = (3x + 5)(x^2 - 4) =
  = (3x + 5)(x - 2)(x + 2) ; stąd:
  x1 = -5/3; x2 = 2; x3 = -2
  
  
  Uwaga do e,f,g,h: Nie wiem, czy mieliście wzory Viete'a dla równań sześciennych, na wszelki wypadek nie stosuję ich. Ale gdybyście mieli to wiesz, że wyraz wolny dzielony przez wyraz przy x^3 (tutaj: zawsze 1 lub -1) to MINUS iloczyn wszystkich trzech pierwiastków równania, więc po zgadnięciu dwóch pierwiastków od razu mamy trzeci dzieląc 1 (lub -1) przez iloczyn pozostałych dwóch.
  
  e)
  Tutaj zgadujemy aż dwa pierwiastki wśród podzielników liczby 2:
  x1 -1; x2 = -2.
  Przedstawiamy wielomian jako:
  W(x) = (x + 1)(x + 2)(2x + A) i wymnażamy nawiasy. Wychodzi:
  W(x) = 2x^3 + (A + 6)x^2 + (3A + 4)x + 2A
  Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x, co daje A = 1
  Trzeci pierwiastek to x3 = -1/2.
  
  f)
  Podobnie do (e). Zgadujemy x1 = 3 ; x2 = -1.
  W(x) = (x - 3)(x + 1)(3x + A) ; wymnażamy
  W(x) = 3x^3 + (A - 6)x^2 + (-2A - 9)x - 3A co daje A = -1 i trzeci pierwiastek
  x3 = 1/3
  
  g)
  Znów podobne. Zgadujemy x1 = -1 ; x2 = 4
  W(x) = (x + 1)(x - 4)(4x + A) ; wymnażamy
  W(x) = 4x^3 + (a - 12)x^2 + (-3A - 16)x - 4A co daje A = -1 i trzeci pierwiastek
  x3 = 1/4
  
  h) To samo. Zgadujemy x1 = 1 ; x2 = -5
  W(x) = (x - 1)(x + 5)(5x + A) ; wymnażamy
  W(x) = 5x^3 + (A + 20)x^2 + (4A - 25)x - 5A; stąd A = 1 i mamy
  x3 = -1/5
  
  Jak się przyjrzysz przykładom e, f, g, h to zauważysz, że nie trzeba wykonywać pełnego mnożenia trzech nawiasów, wystarczy pomnożyć wolne wyrazy, na przykład w przykładzie (h) jest to:
  (-1) * 5 * A = -5A i ten wyraz porównujemy z wyrazem wolnym czyli z -5.
  To jest pośrednio efekt wzoru Viete'a.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie