Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.11.2012 (06:07)

  1.
  Z definicji:
  x1, x2 ze zbioru U + V da się zapisać jako: u1 + v1 oraz u2 + v2 gdzie
  u1, u2, u3 są z U oraz v1, v2, v3 są z V.
  
  Dla lambda z przedziału [0,1]) wyrażenie:
  
  \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 = [\lambda u_1 + (1-\lambda)u_2] + [\lambda v_1 + (1-\lambda)v_2] = u_3 + v_3
  
  jest elementem U + V na mocy definicji operacji "+" podanej w zadaniu oraz liniowości U, V.
  
  2. Analogicznie, używając podanej definicji alfa * A
  
  3. Analogicznie, używając podanej definicji alfa * A oraz definicji "+".
  
  4.
  Zobaczmy dla skończonej ilości N zbiorów wypukłych jak działa podana suma przecięć.
  Na przykład dla N = 3
  
  W_3 = \bigcup\limits_{n=1}^3\bigcap\limits_{j\geqslant n}^3 U_j= (U_1\cap U_2\cap U_3)\cup (U_2\cap U_3)\cup (U_3)
  ale
  
  (U_1\cap U_2\cap U_3)\subset (U_2\cap U_3)\subset (U_3)
  
  więc w rezultacie W_3 = U_3, czyli W_3 jest wypukły
  
  Teraz przez indukcję. Dla N = 1 mamy 1 zbiór wypukły, który jest wypukły. :)
  Załóżmy, że dla N zbiorów podana suma przecięć jest równa N-temu zbiorowi, czyli jest wypukła.
  
  Dla N + 1 zbiorów mamy:
  
  W_{N+1}=\bigcup\limits_{n=1}^{N+1}\bigcap\limits_{j\geq n}^{N+1} U_j=\bigcup\limits_{n=1}^N\bigcap\limits_{j\geq n}^{N+1} U_j \,\,\,\cup\, \bigcap\limits_{j\geq N+1}^{N+1} U_j = U_{N+1}\cup U_{N+1} = U_{N+1}
  
  czyli jeśli W_N = U_N to W_{N+1}=U_{N+1}, czyli jest wypukły.
  Mam nadzieję, że ten dowód można rozciągnąć na nieskończoną ilość zbiorów?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie