Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 20.11.2012 (10:59)

  Na rolkę działają 3 siły:
  W pionie w dół siła ciężkości przyłożona do środka ciężkości
  W pionie w górę siła reakcji podłoża, przyłożona do punktu styku rolki i stołu
  W poziomie siła przyłożona do końcówki papieru.
  
  Siły pionowe równoważą się (nie ma ruchu rolki w pionie)
  Poza tym wektory tych sił leżą na prostej przecinającej środek ciężkości rolki, ramiona tych sił względem środka ciężkości mają zerową długość, dlatego siły nie powodują powstania momentu obrotowego.
  
  Jedyną siłą F o ramieniu równym promieniowi R rolki jest siła pozioma.
  
  Zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu postępowego
  siła F nadaje masie m przyspieszenie a.
  
  a = F / m = 10 / 0,5 = 20 m/s^2 (rozwiązanie do części 1 zadania)
  
  Zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego
  moment siły M = FR nadaje walcowi o momencie bezwładności I
  przyspieszenie kątowe e
  
  e = M / I = FR / (1/2 mR^2) = 2F / (mR) = 2 * 10 / (0,5 * 0,2) = 200 1/s^2
  
  Wymiar wyniku: N * m / (kg * m^2) = kg * (m/s^2) * m / (kg * m^2) = 1/s^2.
  
  W sensie fizycznym przyspieszenie (i prędkość) kątowe jest wektorem zwróconym "nad rysunek", prostopadle do płaszczyzny rysunku czyli prostopadle do wektorów R i F. (wynika to z definicji momentu siły jako iloczynu wektorowego M = R x F). Nie można mówić o "punkcie przyłożenia" tych kątowych wektorów: dowolną oś prostopadłą do rolki można przyjąć jako "oś obrotu" i obliczać liniowe prędkości lub przyspieszenia innych punktów rolki względem tej osi.
  
  Do potrzeb punktu (2) zadania wygodnie wybrać środek rolki jako oś obrotu. Rolka obraca się przeciwnie do wskazówek zegara. Przyspieszenie liniowe A punktów na obwodzie rolki to ponownie iloczyn wektorowy:
  A = e x R
  Przyspieszenie to ma zwrot "w prawo" dla punktów na dole rolki i "w lewo" na górze rolki. Wartość wektora A wynosi:
  
  |A| = e R = 200 * 0,2 = 40 m/s^2
  
  i to jest odpowiedź na pytanie o przyspieszenie papieru względem środka rolki.
  
  Względem stołu na dole rolki przyspieszenia A (odwijania papieru) i 'a' (przyspieszenia środka rolki) sumują się i papier względem stołu ma przyspieszenie:
  
  a' = a + A = 60 m/s^2
  
  Punkt (3) zadania:
  Zwróć uwagę, że liniowe przyspieszenia 'A', wywołane obrotem, punktów leżących nad osią rolki są zwrócone w lewo i zmieniają się od 0 do 40 m/s^2 w zależności od odległości od osi, a przyspieszenie 'a' jest zwrócone w prawo i ma wartość 20 m/s^2.
  W pewnej odległości 'r' nad osią zachodzi równość:
  
  a = e r ; więc r = a / e = 20 / 200 = 0,1 m = 10 cm
  
  Suma obu wektorów jest wtedy zerem i ten punkt, odległy o połowę promienia rolki i leżący nad jej osią to właśnie szukana "chwilowa oś obrotu", nieruchoma względem stołu.
  Podkreślam: to jest chwilowa oś obowiązująca dla nieskończenie krótkiego czasu. W chwilę później ten szczególny punkt obróci się względem środka rolki i inny punkt (teraz będący na prawo od osi chwilowej) przejmie jego rolę, dlatego nie wysnuwaj z faktu istnienia chwilowej nieruchomej osi wniosku, że rolka nie przesuwa się względem stołu.
  
  To jest podobnie jak na toczącym się bez poślizgu kole - w każdej chwili punkt tego styku z podłożem jest nieruchomy przez nieskończenie krótki czas bo w tym punkcie odejmuje się liniowa prędkość środka koła i liniowa prędkość punktów na obwodzie, wywołana obrotem.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    skromna 20.11.2012 (17:18)

    Wielkie dzięki! Teraz postaram się to ogarnąć :)