Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.11.2012 (10:23)

  Poniżej: \alpha,\,\beta,\,\varepsilon,\,\delta\in R,\qquad a,x,y,x_0\in R^n,\qquad a=const
  
  Liniowość:
  
  f(\alpha x + \beta y)=(a,\alpha x + \beta y)=\sum\left[a_i(\alpha x_i + \beta y_i)\right]=
  
  =\alpha\sum a_i x_i + \beta\sum a_i y_1 = \alpha(a,x)+\beta(a,y) = \alpha f(x) + \beta f(y)
  
  Ciągłość: Zakładamy, że wektor 'a' jest niezerowy. Dowodzimy, że:
  
  \forall\limits_{\varepsilon > 0} \,\,\exists\limits_{\delta>0}\,\, \forall\limits_{x,y\in R^n}\,\,|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)- f(y)| < \varepsilon
  
  gdzie |..| jest euklidesową długością wektora w R^.
  
  Przekształćmy, korzystając z liniowości
  
  |f(x) - f(y)| = |(a,x)-(a,y)|=|(a,x-y)| = \left|\sum\left[a_i(x_i-y_i)\right]\right|
  
  Ale, gdy oznaczymy: \alpha = \mbox{max}(|a_i|)
  
  \left|\sum\left[a_i(x_i-y_i)\right]\right| \leqslant \sum|a_i|\cdot |x_i-y_i|\leqslant\alpha\sum|x_i-y_i|
  
  Lewa strona tego ciągu nierówności ma być mniejsza od jakiegoś epsilon.
  Ponieważ lewa strona jest niewiększa od prawej to dla dowolnego epsilon jeżeli weźmiemy:
  
  \delta > \frac{\varepsilon}{\alpha}\mbox{max}(|x_i - y_i|)
  
  to wynikanie w definicji ciągłości będzie prawdziwe.
  
  Powyżej zakładaliśmy, że 'a' jest niezerowe.
  Jeżeli 'a' jest zerem to wystarczy wziąć delta = epsilon.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie