Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.11.2012 (23:52)

  \lim\limits_{n \rightarrow\infty} \,\left[\sqrt{n^2+n} - n\right] = \frac{1}{2}
  
  Dwa dowody:
  
  Klasyczny: Zróbmy z podanego w zadaniu wyrażenia ułamek:
  
  \sqrt{n^2+n} - n = \frac{(\sqrt{n^2+n} - n)(\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2+n} + n}=
  
  =\frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}
  
  Mamy granicę typu \infty/\infty, stosujemy regułę d'Hospitala:
  
  \lim\limits_{n \rightarrow\infty} \,\left[\sqrt{n^2+n} - n\right]= \lim\limits_{n \rightarrow\infty} \,\frac{[n]'}{[\sqrt{n^2+n} + n]'} =
  
  =\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \,\frac{1}{1+\frac{1+2n}{2n\sqrt{1+1/n}}} = \lim\limits_{n \rightarrow\infty} \,\frac{1}{1 + \frac{2 + 1/n}{2\sqrt{1+1/n}}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}
  
  Przez rozwinięcie w szereg - ale nie wiem, czy wolno stosować?
  
  \sqrt{n^2+n} - n = n\,\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1\right) =n\,\left[1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) - 1\right] \rightarrow \frac{1}{2}
  
  gdzie dla dużych n wyrażenie x = 1/n jest małe i stosujemy rozwinięcie w szereg Taylora, część o(x) oznacza poprawkę malejącą do zera szybciej niż x.
  
  \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + o(x)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie