Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2012 (11:11)

  1.1) Czytaj ^ jako "do potęgi"
  
  Stopień wielomianu Q(x) jest równy 1
  Współczynniki liczbowe wielomianu P(x) to { 1; -4; -6, 9 }
  (chyba o to chodzi, nie jestem pewien)
  
  P(x) - Q(x) = x^3 - 4x^2 -7x + 10 (po prostu odejmujemy współczynniki przy tych samych potęgach x).
  
  P(x) : Q(x) jest trudne w zapisie. Spróbuję:
  
  Bierzesz najwyższą potęgę x w P(x), tzn x^3. Współczynnik przy x^3 jest równy 1.
  Najwyższa potęga przy x wielomianu Q(x) to x.
  x mieści się w x^3 razy: x^2. [ Pierwszy składnik wyniku dzielenia to x^2 ].
  Mnożymy Q(x) przez x^2 (wychodzi x^3 - x^2) i odejmujemy od P(x)
  
  x^3 - 4x^2 - 6x + 9
  x^3 - x^2
  ----------------------------------- odejmujemy
  zero -3x^2 - 6x + 9
  
  Teraz najwyższa potęga to x^2, a wzpółczynnik przy x^2 równa się -3.
  Wielomian Q(x) mnożymy przez -3x i odejmujemy. "-3x" to drugi składnik wyniku.
  
  -3x^2 - 6x + 9
  -3x^2 + 3x
  ----------------------------------- odejmujemy
  zero -9x + 9
  
  Ostatnie wyrażenie to -9 * Q(x), więc -9 jest ostatnim składnikiem wyniku.
  
  P(x) : Q(x) = x^2 - 3x - 9
  =======================================
  
  1.2)
  a)
  81x^4 - 16 = (9x^2 - 4)(9x^2 + 4) = (3x - 2)(3x + 2)(9x^2 + 4)
  Pierwiastki: x1 = -2/3 ; x2 = 2/3
  
  b)
  2x^3 + x^2 - 8x - 4 = x^2(2x + 1) - 4(2x + 1) = (x^2 - 4)(2x - 1) =
  = (x - 2)(x + 2)(2x - 1)
  Pierwiastki: x1 = -2 ; x2 = 2 ; x3 = 1/2
  
  c)
  Zgadujemy jeden pierwiastek szukając wśród podzielników wyrazu wolnego czyli podzielników liczby 3. Sprawdzamy kolejno Q(1), Q(-1), Q(3), Q(-3)
  Okazuje się, że Q(3) = 0 więc jednym z czynników będzie (x - 3).
  Drugi czynnik, aby uniknąć dzielenia Q(x) przez (x - 3) i pokazać inną metodę zapisujemy jako trójmian kwadratowy. Przy x^2 w trójmianie ma stać 1, gdyż przy x^3 w Q(x) stoi też 1, a w wyrażeniu (x - 3) przy x stoi 1. Zakładamy, że Q(x) da się zapisać następująco:
  
  x^3 - 2x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x^2 + Ax + B)
  
  Wymnażamy nawias po prawej stronie i łączymy wyrazy z tą samą potęgą x.
  Wychodzi:
  
  x^3 - 2x^2 - 2x - 3 = x^3 + (A - 3)x^2 + (-3A + B)x - 3B
  
  Porównujemy wyrażenia przy tych samych potęgach x.
  Dla x^2 mamy : -2 = A - 3 ; więc A = 1
  Dla wyrazu wolnego mamy -3 = -3B ; więc B = 1
  Dla x sprawdzamy tylko: -3A + B = -3*1 + 1 = -2. Zgadza się.
  
  Można więc zapisać Q(x) = (x - 1(x^2 + x + 1)
  "Delta" z wyrażenia w prawym nawiasie jest równa 1 - 4 =-3
  i tego nawiasu dalej nie da się rozłożyć.
  Pierwiastek: x1 = 3
  =======================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie