Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.10.2012 (23:22)

  2.214
  Są dwa sposoby:
  1) Z równania prostej znaleźć zależność y od x, podstawić y do równania okręgu i obliczyć "delta" tego równania, czy jest większa, równa, czy mniejsza od zera.
  2) - i to zastosujemy - znaleźć odległość środka okręgu od prostej i porównać z promieniem okręgu. Dlatego sposób (2), bo równania okręgów są podane w postaci z której łatwo odczytać położenie środka i promień (pisałem o tym w rozwiązaniu zadania 2.215, porównaj).
  
  Jeżeli prosta jest podana w postaci: Ax + By + C = 0
  to odległość d punktu o współrzędnych (x0, y0) od tej prostej wynosi:
  
  d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
  
  c)
  Okrąg, środek, punkt O = (x0, y0) = (1,1). Promień r = pierwiastek(m)
  Prosta: 1x + 1y - 1 = 0 ; czyli A = 1, B = 1, C = -1.
  Odległość d wynosi:
  
  d = \frac{|1\cdot 1 + 1\cdot 1 -1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
  
  Porównujemy d z promieniem, czyli z pierwiastek(m).
  Gdy są równe, prosta jest styczna. Rozwiązujemy równanie:
  
  \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{m}\qquad\mbox{\zatem}\qquad m = \feac{1}{2}
  
  Gdy 0<= m <= 1/2 prosta nie przecina okręgu (zero punktów wspólnych).
  Gdy m = 1/2 prosta jest styczna do okręgu (jeden punkt wspólny).
  Gdy m > 1/2 prosta przecina okręg w dwóch punktach wspólnych.
  Nie może być m < 0, bo to promień okręgu.
  -------------------------
  
  d)
  Okrąg, środek, punkt O = (x0, y0) = (0,0). Promień r = 5.
  Prosta: 4x + 3y - m = 0 ; czyli A = 4, B = 3, C = -m.
  Odległość d wynosi:
  
  d = \frac{|4\cdot 0 + 3\cdot 0 -m|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|m|}{5}
  
  Prosta i okrąg są styczne gdy zachodzi równość:
  
  5 = |m| / 5 ; co daje m1 = 25 ; m2 = -25.
  
  i następujące rozwiązania:
  
  Gdy m jest z przedziału (-25, 25) mamy dwa punkty wspólne
  Gdy m jest równe -25 lub 25 mamy jeden punkt wspólny
  Gdy m jest z przedziału (-oo, -25) U (25, +oo) to zero punktów wspólnych.
  -------------------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie