Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.10.2012 (08:09)

  2.213.
  Patrz najpierw zad. 2.215 - tutaj także przerabiam równanie okręgu na postać:
  (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
  aby ewentualnie wyłapać możliwe "sztuczki" które często występują w zadaniach
  gdzie dane są specjalnie przygotowywane, a nie zupełnie dowolne.
  
  Ogólnie metoda jest taka: Przez punkt A (o ile leży on na zewnątrz okręg) przechodzi wiele prostych, ale tylko dwie z nich są styczne do okręgu. Jeżeli prosta jest styczna do okręgu o środku O w punkcie styczności B to kąt OBA jest prosty - i to wykorzystujemy, patrz dalej.
  --------------------------------------
  
  e)
  Przekształcamy równanie okręgu:
  x^2 + 10x + y^2 - 6y + 30 = (x + 5)^2 - 25 + (y - 3)^2 - 9 + 30
  (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 4
  Środek okręgu leży w punkcie O(-5,3) ; promień wynosi r = 2.
  Narysuj okrąg i punkt A.
  Od razu zauważysz, że jedną ze stycznych jest pionowa prosta x = -7.
  (o takich przypadkach pisałem jako o "sztuczkach")
  Druga styczna dotyka okręgu w punkcie B, leżącym na okręgu na prawo i nieco w górę od jego środka. Szukamy tej drugiej prostej.
  
  Zakładamy prostą łączącą punty A i B w postaci: ax + by + 1 = 0
  Prosta ta przechodzi przez punkt A w którym x = -7, y = 9, więc:
  
  -7a + 9b + 1 = 0 <-- pierwsze równanie na a,b.
  
  Drugie równanie dostaniemy z warunku, że kąt ABO jest prosty, czyli odległość środka okręgu od prostej AB jest równa promieniowi okręgu. Daje to, jeśli oznaczymy współrzędne O(x0,y0)
  
  r = \frac{|ax_0 + by_0 +1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\mbox{zatem}\qquad 2\sqrt{a^2 + b^2} = |-5a+3b+1|
  
  Podnosimy obie strony do kwadratu, przenosimy wszystko na jedną stronę i upraszczamy, co się da. Zostaje:
  
  21a^2+5b^2 -30 a b -10a + 6b + 1 = 0
  
  Z pierwszego równania mamy a = (9b + 1) / 7. Wstawiamy to do ostatniego równania, wymnażamy nawiasy i po uproszczeniach, wyciągnięciu -8/7 przed nawias i wyrzuceniu tej stałej otrzymujemy (ja to liczę programem, uwierz mi, ze tyle wyjdzie:
  
  b(b - 3) = 0
  
  Stąd dwa rozwiązania:
  
  b1 = 0 ; wtedy a1 = 1 / 7
  b2 = 3 ; wtedy a2 = 28/7 = 4
  
  Pierwsze rozwiązanie daje równanie prostej (1/7)x + 1 = 0, co po pomnożeniu przez 7 oznacza:
  x = -7 - to jest ta pionowa prosta styczna, zauważona na początku.
  
  Drugie rozwiązanie to 4x + 3y + 1 = 0
  To jest ta ukośna styczna.
  Punkt B, jakby Cię interesowało to B(-17/5, 21/5).
  ------------------------------------------------------------
  
  f)
  Przekształcamy równanie okręgu:
  x^2 - 6x + y^2 + 8y + 21 = (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 + 21
  (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 4
  Środek okręgu to O(3, -4), promień okręgu r = 2.
  Zrób rysunek! Ponownie mamy jedną styczną pionową w x = 5
  i styczną ukośną, której szukamy jak poprzednio.
  
  Prosta: ax + by + 1 = 0
  Przechodzi przez A więc 5a - b + 1 = 0 <-- pierwsze równanie.
  Odległość prostej od środka okręgu ma być równa 2
  
  2\sqrt{a^2 + b^2} = |3a-4b+1|
  
  Podnosimy obie strony do kwadratu, przenosimy wszystko na jedną stronę i upraszczamy, co się da. Zostaje:
  
  5a^2 + 12b^2 - 24 a b + 6a - 8b + 1 = 0
  
  Z pierwszego równania b = 5a + 1, podstawiamy do drugiego, upraszczamy.
  
  185a^2 + 62a + 5 = 0
  
  To równanie ma 2 rozwiązania:
  a1 = -1/5, wtedy b = 0 (to jest ta pionowa styczna x = 5)
  a2 = -5/37, wtedy b = 12/37.
  Równanie prostej: (-5/37)x + (12/37)y + 1 = 0 mnożymy przez 37
  -5x + 12y + 37 = 0 (to jest ta ukośna prosta)
  ------------------------------------------------------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie