Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.10.2012 (10:51)

  NAWIASY!!!
  
  1a) trzeba zapisać tak: f(x) = 8x / (5x - 10), w przeciwnym razie trzeba się domyślać.
  W mianowniku nie może być zera, wykluczamy możliwość
  5x - 10 = 0 ; czyli x = 2
  D = R / {2}
  
  1b) Zapis: f(x) = (3x - 5) / (x^2 + 2x + 1) [^2 czytaj "do kwadratu"]
  W mianowniku nie może być zera. Zapisujemy mianownik jako:
  (x + 1)^2 i wykluczamy możliwość x = -1, gdy ten kwadrat jest zerem.
  D = R / {-1}
  
  1c) Zapis: f(x) = (x^2 + 2) / (4x^3 - 8x^2 - x + 2)
  W mianowniku nie może być zera.
  Zgadujemy, szukając wśród podzielników liczby 2, pierwiastka równania:
  4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0
  Pasuje x1 = 2.
  Albo dzielimy 4x^3 - 8x^2 - x + 2 przez x - 2, a jak ktoś nie umie, to zapisujemy tak:
  (x - 2)(4x^2 + Ax + B) = 4x^3 - 8x^2 - x + 2 ; wymnażamy nawias:
  
  4x^3 + (-8 + A)x^2 + (-2A + B)x - 2B = 4x^3 - 8x^2 - x + 2
  
  i porównujemy wyrazy przy tych samych potęgach x, co daje A = 0, B = -1
  Mianownik = (x - 2)(4x^2 - 1)
  Rozkładamy drugi nawias:
  Mianownik = (x - 2)(x - 1/2)(x + 1/2)
  Wykluczamy liczby: x1 = 2, x2 = 1/2 oraz x3 = -1/2.
  D = R / {-1,2 ; 1/2 ; 2}
  ================================
  
  2a. Zapis: (x^3 + x^2 - 4x - 4) / (x^2 + 3x + 2)
  Ze wzorów Viete'a szukamy pierwiastków mianownika
  (suma pierwiastków = -3, iloczyn = 2 więc x1 = -1, x2 = -2).
  Mianownik ma postać: (x+1)(x+2)
  Sprawdzamy, czy te liczby nie są pierwiastkami licznika.
  Okazuje się, że tak, licznik = 0 dla x = -2 oraz dla x = -1
  Wobec tego ułamek ma postać:
  
  (x - A)(x + 1)(x + 2) / (x + 1)(x + 2) = x - A (cały mianownik się skróci).
  
  Aby było to możliwe - bo nie możemy dzielić przez 0
  wykluczamy x = -1 i x = -2. Skracanie jest dopuszczalne gdy
  x należy do R / {-2 ; -1}
  
  Pozostaje obliczyć "A". Wymnażamy nawiasy w (x - A)(x + 1)(x + 2)
  i porównujemy wyrażenia przy tych samych potęgach x.
  
  x^3 + (3 - A)x^2 + (2 - 3A)x - 2A = x^3 + x^2 - 4x - 4 ; co daje A = 2
  
  Po skróceniu z ułamka zostaje tylko x - 2
  
  2b) Zapis: (25x^3 + 50x^2 -x - 2) / (5x^2 + 9x - 2)
  Znajdujemy pierwiastki mianownika (tym razem "klasycznie"
  delta = 81 - 4*5*(-2) = 121. Pierwiastek(delta) = 11
  x1 = (-9 - 11) / 10 = 2
  x2 = (-9 + 11) / 10 = 1/5
  Ponownie okazuje się, że obie te liczby są pierwiastkami licznika.
  Wobec tego zapisujemy licznik jako:
  Licznik = (5x - A)(5x^2 + 9x - 2) [zauważ, że dobieram 5x, aby dostać 25 przy x^3]
  Wymnażamy i porównujemy:
  
  25x^3 + (45 - 5A)x^2 + (-10 - 9A)x + 2A = 25x^3 + 50x^2 -x - 2 ; stąd A = -1.
  
  Licznik da się zapisać jako: (5x + 1)(5x^2 + 9x - 2)
  Po skróceniu z ułamka zostaje tylko 5x + 1
  Warunki, gdy jest to dozwolone:
  x należy do R / {-2, 1/5}
  ================================
  
  Zgłoś proszę pozostałe zadania oddzielnie bo ten tekst staje się za długi :)
  (najlepiej w 2 kawałkach: zadania 3, 4 i 5 oraz 6 i 7 ).
  I pamiętaj o używaniu NAWIASÓW !!!

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie