Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.10.2012 (12:01)

  Zadanie 4.
  Wykorzystamy najpierw informację o pierwiastkach tworzących ciąg arytmetyczny.
  Niech najmniejszy pierwiastek wynosi 'a'. Kolejne to a + 4 i a + 8.
  W(x) można więc zapisać w postaci iloczynu:
  
  W(x) = (x - a)(x - a - 4)(x - a - 8)
  
  Wymnażamy wszystkie nawiasy i grupujemy wyrażenia z tą samą potęgą x.
  
  W(x) = x^3 + (-3a - 12)x^2 + (3a^2 + 24a + 32)x + (-a^3 -12a^2 - 32a)
  
  Teraz wykorzystujemy informację, że W(6) = -15. Wstawiamy x = 6
  
  -15 = 6^3 + (-3a - 12)*6^2 + (3a^2 + 24a + 32)*6 + (-a^3 -12a^2 - 32a)
  
  i ponownie upraszczamy całe wyrażenie.
  W wyniku dostajemy, po pomnożeniu przez -1, równanie na 'a'.
  
  a^3 - 6a^2 - 4a + 9 = 0
  
  Zgadujemy jeden pierwiastek (szukamy wśród podzielników liczby 9)
  a1 = 1
  
  Równanie na a można napisać teraz tak:
  
  (a - 1)(a^2 + Aa + B) = a^3 - 6a^2 - 4a + 9
  
  Wymnażamy lewą stronę:
  
  a^3 + (A - 1) a^2 + (-A + B) a - B = a^3 - 6a^2 - 4a + 9
  
  Porównujemy wyrazy przy tych samych potęgach 'a'. Dostajemy:
  A - 1 = -6 więc A = -5 (z wyrazów przy a^2
  B = -9 (z wyrazów wolnych)
  i potwierdzamy -A + B = 5 - 9 = -4, zgadza się wyraz przy 'a'.
  Nasze równanie na 'a' ma postać:
  
  (a - 1)(a^2 -5a - 9) = 0
  
  Równanie kwadratowe w nawiasie ma 2 rozwiązania:
  a2 = (1/2) [5 - pierwiastek(61)]
  a3 = (1/2) [5 + pierwiastek(61)]
  
  Wstawiamy kolejno a1, a2, a3 do W(x) = (x - a)(x - a - 4)(x - a - 8).
  
  Dla a1:
  
  W(x) = W(x) = (x - 1)(x - 1 - 4)(x - 1 - 8) = x^3 - 15x^2 + 59x - 45
  
  Porównujemy W(x) z postacią z zadania: W(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
  Współczynniki przy tych samych potęgach mają być równe więc:
  
  b_1 = -15 \qquad c_1 = 59 \qquad d_1 = -45
  
  Dla a2 = (1/2) [5 - pierwiastek(61)] po bardzo nieprzyjemnych mnożeniach:
  
  W(x) = x^3 + \frac{-39+3\sqrt{61}}{2}x^2 + \frac{313-39\sqrt{61}}{2}x + (-486+63\sqrt{61})
  
  Drugi zestaw b, c, d to:
  
  b_2 = \frac{-39+3\sqrt{61}}{2}\qquad c_2 = \frac{313-39\sqrt{61}}{2}\qquad d_2 = -486+63\sqrt{61}
  
  Dla a3 = (1/2) [5 + pierwiastek(61)] też po bardzo nieprzyjemnych mnożeniach:
  
  W(x) = x^3 + \frac{-39+3\sqrt{61}}{2}x^2 + \frac{313-39\sqrt{61}}{2}x + (-486+63\sqrt{61})
  
  czyli to samo co dla a2. Ostatecznie istnieją więc jedynie 2 rozwiązania.
  Być może łatwiej zamiast liczyć całe wyrażenie dla a3 szybciej jest udowodnić, że jest ono takie same dla + i - pierwiastka z 61. Ja liczyłem programem do symbolicznych działań, nie na kartce, więc nie namęczyłem się, ale przyznaję, ze na kartce to obrzydliwa robota :)
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie