Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.10.2012 (10:30)

  13
  Warunek zadania oznacza:
  a) współczynnik przy x^2 ma być dodatni czyli m > 0
  m należy do (0, +oo) <-- pierwszy warunek
  
  b) wierzchołek paraboli ma mieć współrzędną y >= 1
  Wzór na wsp. y wierzchołka:
  
  y = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a} = \frac{-b^2}{4a} + c
  
  Wstawiamy z zadania: a = m/4, b = m - 1, c = -m^2 + m + 1
  
  y = \frac{-(m-1)^2}{m} -m^2 + m + 1 \geqslant 1
  
  Upraszczamy jedynki, sprowadzamy do wspólnego mianownika. Ponieważ z pierwszego warunku jest m > 0 można rozpatrywać tylko sytuację, gdy licznik jest nieujemny, czyli gdy (po wyciągnięciu m-1 przed nawias)
  
  -(m-1)^2 + m(-m^2 + m) = -(m-1)(m^2 + m - 1) \geqslant 0
  
  zatem
  
  (m-1)(m^2 + m - 1) \leqslant 0
  
  Wyrażenie w nawiasie także jest rozkładalne.
  Znajdujemy pierwiastki równania:m^2 + m - 1 = 0\
  m1 = (1/2)[-1 - pierwiastek(5) ] = około -1,6
  m2 = (1/2)[-1 + pierwiastek(5) ] = około 0,6
  i mamy:
  
  (m-1)\left(m+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(m+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\leqslant 0
  
  Punkty "krytyczne" tego iloczynu to kolejno:
  (1/2)[-1 - pierwiastek(5) ] ; (1/2)[-1 + pierwiastek(5) ] ; 1
  Gdy m < (1/2)[-1 - pierwiastek(5) ] iloczyn jest ujemny
  Gdy (1/2)[-1 - pierwiastek(5) ] < m < (1/2)[-1 + pierwiastek(5) ] iloczyn jest dodatni
  Gdy (1/2)[-1 + pierwiastek(5) ] < m < 1 iloczyn jest ujemny
  Gdy m > 1 iloczyn jest dodatni
  
  Pamiętamy, że pierwszy warunek wymusza m > 0. Wobec tego rozwiązaniem jest:
  
  m \in \left<\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5}\,)\,,\,1\right>
  
  ------------------------
  Proszę zgłoś pozostałe zadania pojedynczo - rozwiązania są bardzo długie!

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie