Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.10.2012 (14:50)

  Zauważ, ze nie pytam, czy "log" to logarytm dziesiętny, naturalny, czy inny, bo to NIE MA znaczenia.
  
  -- Suma logarytmów = logarytm z iloczynu.
  -- 2 * logarytm = logarytm z kwadratu tego, co pod logarytmem.
  -- Logarytm z 1 = 0.
  Dlatego podane równanie możemy przepisać jako:
  
  \log\left[ x^2\cdot(6-x^2)\right] = \log 1
  
  stąd: (to równanie nazywam "równanie 1")
  
  x^2(6-x^2) = 1
  
  Rozwiążemy to równanie (jako równanie dwukwadratowe), ale zajmijmy się przedtem dziedziną równania w zadaniu. Wyrażenia pod logarytmem mają byc dodatnie, co prowadzi do układu nierówności:
  x > 0 czyli x w przedziale (0, +oo)
  6 - x^2 > 0 czyli x w przedziale (-pierwiastek(6), +pierwiastek(6))
  Połączenie tych przedziałów daje dziedzinę:
  
  D = \{\,x:\, x\in (0, +\sqrt{6})\,\}
  
  Wróćmy do równania 1. Podstawiamy y = x^2 i mamy:
  y(6-y) = 1 więc: y^2 - 6y + 1 = 0
  Rozwiązaniami tego równania są, uwierz mi :)
  
  y_1 = 3-2\sqrt{2}\,\approx\,0{,}17\qquad\qquad y_2 = 3+2\sqrt{2} \,\approx\,5{,}83
  
  co odpowiada dodatnim wartościom x:
  
  x_1 = \sqrt{3-2\sqrt{2}}\,\approx\,0{,}414\qquad\qquad x_2 = \sqrt{3+2\sqrt{2}} \,\approx\,2{,}414
  
  Ponieważ pierwiastek(6) = około 2,45 to OBA rozwiązania należą do dziedziny.
  Uwierz mi, że z kalkulatorem w ręku sprawdziłem rozwiązania :)
  
  W załączniku masz wykres funkcji z zadania.

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie