Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 20.10.2012 (14:14)

  Zapisujemy równanie tak:
  
  -x^2 + 2|x| = m^2 - 8.
  
  Lewa strona to funkcja f(x) = -x^2 + 2|x|
  
  Zauważ, że ta funkcja jest parzysta, tzn f(x) = f(-x), ponieważ:
  x^2 = (-x)^2 oraz |x| = |-x|
  Jak funkcja jest parzysta to jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
  Wystarczy zrobić wykres dla x>0 funkcji -x^2 + 2x, odbić go względem OY
  i dostaje się, po wymazaniu niepotrzebnych części (patrz zadanie 2.190)
  to co w załączniku - taki obwisły biust.
  
  Teraz bierzemy poziomą kreskę i jedziemy od góry.
  
  Sytuacja A:
  Gdzieś w okolicy y = 1 kreska styka się z wykresem w 2 punktach.
  (ile dokładnie wynosi y - policzymy dalej).
  
  Sytuacja B:
  gdy y = około 1 aż do y = 0 (ale BEZ y = 0) mamy 4 rozwiązania
  
  Potem dla y = 0 jest trzy rozwiązania, a dla y < 0 ponownie 2
  
  Analizujemy: Sytuacja A. Użyjmy wzoru na f(x) dla x>0 i znajdźmy maksimum
  f(x) = -x^2 + 2x = -x(x-2).
  Miejsca zerowe to x1 = 0, x2 = 2 ; maksimum wypada pośrodku, dla x =1
  f(1) = -1 * (1 - 2) = 1.
  Czyli jak pozioma kreska będzie na wysokości y = 1 mamy 2 rozwiązania.
  
  Łączymy to z prawą stroną wyjściowego równania: 1 = m^2 - 8.
  Z tego wynika, że m^2 = 9 czyli m1 = -3, m2 = 3
  
  Zostaje jeszcze sytuacja B. Wtedy m^2 - 8 = 0 czyli:
  m3 = -pierwiastek(8) ; m4 = pierwiastek(8)
  
  Pierwiastek(8) to około 2,83., co jest < 3.
  Wobec tego (??? - oczywiste to nie jest, ale rozważ "poziomą kreskę...)
  4 rozwiązania mamy w przedziałach:
  
  m\in(-3, -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}, 3)
  
  --------------
  
  Dla m = -3 lub m = -3, ale także gdy m^2 - 8 < 0, czyli m^2 < 8 są dwa rozwiązania.
  
  m \in (-\sqrt{8}, \sqrt{8}) \cup \{-3, 3\}
  
  Drugi załącznik pokazuje wykresy dla różnych 'm', ale nędznie mi to wyszło, a ten tekst jest już za długi. Ale sens jest taki:
  Poziomą kreskę ustawiamy na wysokości m^2 -8.
  Jak m jest bardzo duże, to kreska nie przecina wykresu.
  Jak m maleje to kraska dotyka wykresu w 2 punktach, potem w 4,
  potem w 3 i ponownie w 2.
  ALE gdy m zjedzie do zera i stanie się ujemne to m^2 ponownie rożnie
  i proces się powtarza - 2 rozwiązania, potem 3, potem 4, potem 2, potem żadnego dla bardzo ujemnych m.
  
  
  

  Załączniki

  • rysunek.jpg (7 KB)

  • zal2.jpg (9 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie