Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.10.2012 (15:11)

  Można wziąć masę Ziemi z tablic, można skorzystać ze wzoru na I prędkość kosmiczną (też z tablic), można też użyć wartości przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s^2 [ znaczek ^2 to "do kwadratu" ]. Co wolisz.
  Najprostsze byloby rozwiązanie z I prędkością kosmiczną, ale - dla ćwiczenia - pokażę rozwiązanie z użyciem "g".
  
  Jak Cię 10 lat nie było, to trochę Ci przypomnę:
  Siłą DOśrodkową, która zakrzywia ruch satelity, jest siła grawitacji. Gdyby jej nie było, satelita odleciałby po stycznej w kosmos. Oznaczmy:
  
  r - promień orbity satelity liczony od środka Ziemi.
  m - masa satelity, skróci się
  M - masa Ziemi, skróci się
  v - prędkość liniowa satelity, zamienimy na okres T
  G - stała grawitacji, skróci się
  R promień Ziemi, dany
  g - przyspieszenie ziemskie, zakładam g = 9,81 m/s^2.
  
  Przypomnij sobie, albo zajrzyj do podręcznika, wzór na siłę dośrodkową, gdy mamy masę m, prędkość liniową v i promień okręgu r. Porównamy ją z siłą przyciągania grawitacyjnego:
  
  m\,\frac{v^2}{r} = \frac{GmM}{r^2}
  
  Masa 'm' się skróci (wynik nie zależy od masy satelity). Jedno 'r' też się skróci.
  Zostaje:
  
  v^2 = \frac{GM}{r}
  
  Chodzi o obliczenie 'r', a potem, jak pisałaś, odejmujemy R i mamy wysokość.
  Ale nie znamy 'v'. Zwiążemy 'v' z 'r' i okresem obiegu 'T'.
  
  W czasie T satelita z prędkością v pokonuje obwód okręgu o promieniu r, czyli:
  
  vT = 2\pi r \qquad\mbox{zatem}\qquad v = \frac{2\pi r}{T}
  
  Wstawiamy v do poprzedniego równania:
  
  \left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{GM}{r}
  
  Stąd (podnosimy do kwadratu, mnożymy przez r, dzielimy, wyciągamy pierwiastek)
  
  r = \sqrt[3]{\frac{T^2}{4\pi^2}\,GM}
  
  W powyższym wzorze potrzeba iloczynu GM. Teraz użyjemy "g" - przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi. Mamy wzór:
  
  g = \frac{GM}{R^2}\qquad\mbox{zatem}\qquad GM = gR^2
  
  Wstawiamy:
  
  r = \sqrt[3]{\frac{T^2}{4\pi^2}\,gR^2}
  
  i obliczamy już gotowe 'r', pamiętając, że okres T zamieniamy na sekundy:
  T = 24 * 60 * 60 = 86400 s
  oraz promień Ziemi zamieniamy na metry: R = 6400000 m
  
  r = \sqrt[3]{\frac{86400^2}{4\pi^2}\cdot 9{,}81\cdot 6400000^2}\,\approx\,42{,}3\cdot 10^6\,\mbox{m} = 42300 \,\mbox{km}
  
  Odległość satelity od środka Ziemi to około 42300 km, więc szukana wysokość to:
  42300 - 6400 = około 36 tysięcy kilometrów
  
  To jest odpowiedź do zadania. Przyznaję, że z użyciem prędkości kosmicznych rozwiązanie byłoby prostsze, ale to jest ćwiczenie. Pisz na priv w razie wątpliwości.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie