Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.10.2012 (20:35)

  2.190. f)
  Mamy 2 przypadki:
  1) Dla x >= 0 jest |x| = x i równanie przechodzi w:
  
  -x^2 + 2x - m^2 + 2 = 0
  
  Ilość rozwiązań zależy od "delty" tego równania.
  delta = 2^2 - 4 * (-1) * (-m^2 + 2) = -4(m^2 - 3)
  
  Jeżeli wyrażenie w nawiasie jest dodatnie to delta jest ujemna, czyli
  dla m z przedziału ( -oo, -pierwiastek(3) ) U ( pierwiastek(3), +oo ) brak rozwiązań.
  
  Gdy delta = 0 jest jedno rozwiązanie, ale sprawdźmy, je spełnia ono warunek x >=0.
  Rozwiązaniem jest: x = -2 / [ 2 * (-1) ] = 1.
  Rozwiązanie jest większe od zera, więc:
  dla m ze zbioru: { -pierwiastek(3) ; -pierwiastek(3) } jest 1 rozwiązanie.
  
  Gdy delta > 0 powinny być 2 rozwiązania wynoszące:
  x1 = (-2 - pierwiastek(12 - 4m^2) / (-2) = 1 + pierwiastek(3 - m^2)
  x2 = (-2 + pierwiastek(12 - 4m^2) / (-2) = 1 - pierwiastek(3 - m^2)
  Ale ponownie trzeba zbadać, czy rozwiązania te spełniają warunek x >= 0.
  Wiemy, że m jest z przedziału ( -pierwiastek(3) ; pierwiastek(3) ).
  więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie.
  Rozwiązanie "x1" jest dodatnie, ale rozwiązanie "x2" niekonicznie, bo gdy
  3 - m^2 > 1 czyli gdy m^2 < 2 wtedy pierwiastek(3 - m^2) > 1 i x2 jest ujemne.
  Wobec tego
  dla m z przedziału:
  ( -pierwiastek(3) ; -pierwiastek(2) > U < pierwiastek(2) ; pierwiastek(3) )
  są dwa rozwiązania
  dla m z przedziału ( -pierwiastek(2) ; pierwiastek(3) )
  jest jedno rozwiązanie[/b]
  
  2) Ale to nie koniec, gdyż trzeba rozpatrzeć sytuację, gdy x < 0.
  Na szczęście nie trzeba powtarzać całej analizy, gdyż zauważ, że funkcja z zadania jest symetryczna względem osi OY, tzn. f(-x) = f(x), ponieważ x^2 = (-x^2) oraz |-x| = |x|.
  Wobec tego mamy:
  
  0 rozwiązań dla
  m z przedziału ( -oo, -pierwiastek(3) ) U ( pierwiastek(3), +oo )
  
  2 rowiązania dla
  m ze zbioru: { -pierwiastek(3) ; -pierwiastek(3) } lub dla
  m z przedziału ( -pierwiastek(2) ; pierwiastek(3) )
  
  3 rozwiązania dla
  m ze zbioru: { -pierwiastek(2) ; -pierwiastek(2) }
  ( liczba x = 0 jest wspólnym rozwiązaniem, dlatego 3 a nie 4 rozwiązania)
  
  4 rozwiązania dla m z przedziału:
  ( -pierwiastek(3) ; -pierwiastek(2) > U < pierwiastek(2) ; pierwiastek(3) )
  
  Wykresy w załączniku pokazują sytuację dla (patrząc kolejno od dołu)
  m = 2
  m = pierwiastek(3)
  m = 1,6 czyli pomiędzy pierwiastek(2) a pierwiastek(3)
  m = pierwiastek(2)
  m = 0

  Załączniki

  • 190.jpg (11 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie