Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.10.2012 (08:38)

  Rozbijamy rozwiązanie na 4 przypadki.
  1) x >= 0
  Wtedy |x| = x, zapisujemy nierówność jako:
  | x^2 - 10x + 15 | < 6
  Ponownie mamy 2 możliwości.
  
  1a)
  Jeżeli wyrażenie w |...| jest dodatnie to | x^2 - 10x + 15 | = x^2 - 10x + 15
  Rozwiązujemy równanie:
  x^2 - 10x + 15 = 0
  delta = 100 - 4*15 = 40. Pierwiastek(delta) = 2*pierwiastek(10)
  x1 = 5 - pierwiastek(10)
  x2 = 5 + pierwiastek(10)
  We wzorze x^2 - 10x + 15 współczynnik przy x^2 jest dodatni więc wyrażenie to jest nieujemne na lewo od x1 i na prawo od x2. Pamiętamy, ze jest to przypadek (1) czyli w grę wchodzą x >=0. Rozpatrujemy sumę przedziałów:
  x należy do < 0, 5 - pierwiastek(10) > U < 5 + pierwiastek(10), +oo )
  
  Pozbywamy się |...| i mamy do rozwiązania nierówność:
  x^2 - 10x + 15 < 6 ; czyli
  x^2 - 10x + 9 < 0
  Rozwiązujemy równanie x^2 - 10x + 11 = 0
  Tym razem ze wzorów Viete'a: suma pierwiastków = 10, iloczyn = 9.
  Pierwiastki to: x1 = 1, x2 = 9.
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni trójmian jest ujemny pomiędzy x1 i x2, czyli nierówność spełniają:
  x z przedziału (1, 9)
  Nakładamy ten przedział na sumę przedziałów określających warunki części (1a) zadania.
  Ponieważ 5 - pierwiastek(10) = około 1,8 oraz 5 + pierwiastek(10) = około 8,2
  dostajemy jako rozwiązanie części (1a) sumę przedziałów:
  x należy do ( 1, 5 - pierwiastek(10) > U < 5 + pierwiastek(10), 9 )
  
  1b)
  Jeżeli wyrażenie w |...| jest ujemne to | x^2 - 10x + 15 | = -(x^2 - 10x + 15)
  Z części (1a) wiemy, że jest to spełnione dla
  x należy do ( 5 - pierwiastek(10) ; 5 + pierwiastek(10) )
  Nierówność ma postać:
  -x^2 + 10x - 15 < 6 ; czyli
  x^2 - 10x + 21 > 0
  Ze wzorów Viete'a mamy pierwiastki x1 = 3, x2 = 7
  Pamiętamy dodatkowo, że cały czas ma być x >= 0.
  Ze względu na dodatni wsp. przy x^2 nierówność jest spełniona dla:
  x należy do < 0, 3 ) U ( 7, +oo )
  Nakładamy tą sumę przedziałów na warunek ujemności wyrażenia w |...|
  x należy do ( 5 - pierwiastek(10) , 3) U ( 7, 5 + pierwiastek(10) >
  
  Teraz sumujemy przypadki (1a) i (1b).
  Jak widać "brzydkie" liczby z pierwiastkami należą do (1a), nie należą do (1b), ale stanowią granicę między rozwiązaniami i "znikną" w sumie przedziałów. Cały przypadek (1) daje:
  
  x należy do ( 1 ; 3 ) U ( 7 ; 9 )
  
  =================
  
  2) Gdy x < 0 to |x| = -x.... Wtedy....
  
  ALE UWAGA!!! Nie musimy powtarzać wszystkich obliczeń!
  Zauważmy, że funkcja | x^2 -10 |x| + 15 | jest symetryczna
  względem x, to znaczy ma te same wartości dla dodatniego i ujemnego x
  f(-x) = f(x)
  dlatego, że x^2 jest jednakowe dla +x i -x, podobnie |-x| = |x|.
  
  Wobec tego dla x < 0 dostajemy symetryczne względem pionowej osi rozwiązanie:
  
  x należy do ( -9 ; -7 ) U ( -3 ; -1 )
  
  i rozwiązanie całego zadania to suma czterech przedziałów:
  
  x \in ( -9 ; -7 ) \cup ( -3 ; -1 ) \cup ( 1 ; 3 ) \cup ( 7 ; 9 )
  
  Na dowód dodaję wykres funkcji f(x) = | x^2 -10 |x| + 15 | - 6.
  Można zobaczyć, kiedy jest ona ujemna (bo wtedy | x^2 -10 |x| + 15 | < 6).
  
  =================

  Załączniki

  • wykres.jpg (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie