Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.10.2012 (09:12)

  179c.
  Rozbijamy zadanie na 2 części:
  
  1) Gdy x^2 + 3x + 1 >= 0 to | x^2 + 3x + 1 | = x^2 + 3x + 1
  Znajdujemy zakres stosowalności przypadku (1). Rozwiązujemy równanie:
  x^2 + 3x + 1 = 0
  Delta = 9 - 4 * 1 = 5
  x1 = (1/2)[-3 - pierwiastek(5)] = około -2,6
  x2 = (1/2)[-3 pierwiastek(5)] = około -0,4
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni trójmian jest dodatni na lewo od x1 i na prawo od x2, czyli rozważamy zakres
  x należy do
  ( -oo, (1/2)[-3 - pierwiastek(5)] > U < (1/2)[-3 + pierwiastek(5)], +oo )
  
  Nierówność z zadania przechodzi w:
  x^2 + 3x + 1 <= 1 ; czyli
  x^2 + 3x <= 0
  Przepisujemy ostatnie wyrażenie jako x(x + 3) <= 0
  Albo
  x <= 0 oraz x + 3 >= 0 czyli x <= 0 oraz x >= -3 czyli x należy do < -3, 0 >
  Albo
  x > 0 oraz x + 3 < 0 czyli x > 0 oraz x < -3 ; sprzeczne.
  
  Nakładamy rozwiązanie na warunki jego stosowalności i mamy
  x należy do
  < -3, (1/2)[-3 - pierwiastek(5)] > U < (1/2)[-3 + pierwiastek(5)], 0 >
  
  2) Gdy x^2 + 3x + 1 < 0 to | x^2 + 3x + 1 | = -(x^2 + 3x + 1)
  Zakres stosowalności to ta część osi X, która nie podpada pod (1) czyli
  x należy do
  ( (1/2)[-3 - pierwiastek(5)] ; (1/2)[-3 + pierwiastek(5)], +oo )
  
  Nierówność z zadania przechodzi w:
  -x^2 - 3x - 1 <= 1 ; czyli
  x^2 + 3x + 2 >= 0
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = -3, iloczyn równy 2)
  mamy pierwiastki x1 = -2, x2 = -1. Zapisujemy nierówność jako:
  (x+2)(x+1) <= 0
  Albo:
  x+2 >= 0 oraz x+1 <= 0 czyli x >= -2 oraz x <= -1 czyli x należy do < -2, -1 >
  Albo:
  x+2 < 0 oraz x+1 > 0 czyli x < -2 oraz x > -1 ; sprzeczne.
  
  Nakładamy rozwiązanie na warunki jego stosowalności i mamy
  x należy do
  ( (1/2)[-3 - pierwiastek(5)] ; -2 > U < -1 ; (1/2)[-3 + pierwiastek(5)] >
  
  Łączymy oba przypadki. "Brzydkie" wyrażenia z pierwiastkami kryją się w sumie przedziałów i dostajemy jako rozwiązanie zadania:
  
  x \in \,<-3 ; -2> \cup <-1 ; 0>

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie