Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.10.2012 (14:06)

  b) Ze względu na skończone wartości sin i cos zachodzi nierówność:
  
  -|x+y| \leqslant (x+y)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y} \leqslant |x+y|
  
  Skrajne funkcje dążą do zera gdy (x,y) ---> (0,0) więc granica = 0.
  
  d)
  Prawdziwa jest nierówność: | sin(t) | <= | t |
  (co można udowodnić np. biorąc t = 0, wtedy sin(t) = t,
  a następnie pochodne [sin(t)] ' = cos t oraz t ' = 1.
  (trzeba się pobawić osobno dla dodatnich i ujemnych małych "t")
  Dla małych "t" pochodna sinusa rośnie wolniej niż 1, więc funkcja sinus jest zawsze zmieszczona pomiędzy osią t, a prostą g(t) = t. Ale chyba nie trzeba tego udowadniać??)
  
  Zachodzi więc nierówność:
  
  -\frac{|x^3 + y^3|}{x^2 + y^2} \leqslant \frac{\sin(x^3 + y^3)}{x^2 + y^2} \leqslant \frac{|x^3 + y^3|}{x^2 + y^2}
  
  Przechodzimy do współrzędnych biegunowych (r, alfa). Granice skrajnych wyrażeń są równe:
  
  = \pm\lim\limits_{r\rightarrow 0} \,\left(r\cdot |\cos^3\alpha + \sin^3\alpha |\right) = 0
  
  ze względu na skończoną wartość wyrażenia w |...|.
  
  Wobec tego granica = 0.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie