Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.10.2012 (08:57)

  Czytaj oo jako "nieskończoność" oraz znak "u" jako sumę przedziałów.
  
  d)
  Piąta potęga liczby ma ten sam znak co pierwsza potęga.
  Nierówność sprowadza się do: (2x - 6)(6x - 3) >= 0
  bo wyrażenie (2-x)^2 jest nieujemne, ale trzeba pamiętać, że x = 2 też jest rozwiązaniem, bo nierówność jest > lub =
  Miejsca zerowe (2x - 6)(6x - 3) to x = 1/2, x = 3
  "Wężyk" zaczyna się od góry (bo 2 nawiasy i dodatnie współczynniki przy x)
  Przecina on oś X w 1/2, zakręca i ponownie przecina oś X w 3.
  Czyli albo x <= 1/2 albo x >= 3
  x należy do (-oo, 1/2 > u < 3, +oo) u {2}
  
  e)
  Pierwszy nawias jest nieujemny i można go pominąć.
  Znak sześcianu liczby jest taki sam jak tek liczby, nierówność sprowadza się do:
  x^2 - 4 > 0 (podzieliłem drugi nawias przez 2)
  (x-2)(x+2) > 0
  Z powodów identycznych jak w (d)
  x należy do (-oo, -2 ) u ( 2, +oo)
  
  f)
  Nie ma czego "wężykować"
  Czwarta potęga liczby jest nieujemna, pomijamy pierwszy nawias,
  ale trzeba pamiętać, że może być on zerem, czyli, ponieważ nierówność jest <=
  x^2 - 2x - 15 = 0
  co daje x1 = -3, x2 = 5
  Reszta nierówności sprowadza się do:
  2x + 1 <= 0 czyli x <= -1/2
  Ten zakres obejmuje x1 z rozwiązania powyżej, dostajemy:
  x należy do (-oo, -1/2> u {5}
  
  g)
  Pierwszy nawias jest zawsze dodatni, pomijamy.
  Trzeci nawias przedstawiamy jako iloczyn i mamy:
  (2x-5)(1-x)(1+x) < 0
  Typowy "wężyk". Zaczyna się od góry (bo 3 nawiasy, ale ujemny współczynnik przy x w środkowym nawiasie). Przechodzi przez x = -1 pod oś X, następnie przez x = 1 nad oś X i przez x = 5/2 pod oś X.
  Pod osią wężyk jest dla
  x należy do (-1, 1) u (5/2, +oo)
  
  h)
  Pierwszy nawias rozkładamy na [x - pierwiastek(7)] * [x + pierwiastek(7)]
  Następne dwa trzeba zbadać, czy przypadkiem nie są zawsze dodatnie.
  2x^2 + x - 1 = 0
  ma dwa pierwiastki: x1 = -1 ; x2 = 1/2
  3x^2 + x - 2 = 0
  ma dwa pierwiastki: x3 = -1 ; x4 = 2/3
  Całość zapisuje się tak:
  
  (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})(x+1)(x-1/2)(x+1)(x-2/3) \geqslant 0
  
  Zwróć uwagę, że (x+1) się powtarza!
  Zapisujemy nawiasy w kolejności takiej, aby rozwiązanie z najmniejszym x było po lewej stronie. NIE jest to konieczne, ale ułatwia "wężykowanie".
  
  (x+\sqrt{7})(x+1)^2(x-1/2)(x-3/2)(x-\sqrt{7}) \geqslant 0
  
  Nawias (x+1)^2 jest nieujemny, pomijamy go, ale ponieważ nierówność jest >= to x = -1 też jest rozwiązaniem. Pozostaje 4 nawiasy z dodatnimi współczynnikami przy x.
  Wężyk zaczynamy od góry, przecina on oś X dla x = -pierwiastek(7), ponownie wchodzi nad oś dla x = 1/2 i schodzi pod oś dla x = 3/2, aby wyjść nad oś dla x = +pierwiastek(7).
  
  x należy do (-oo, -pierw(7) > u {-1} u <1/2, 3/2 > u < pierw(7), +oo)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie