Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.10.2012 (16:01)

  Po pierwsze: 6-kąt ma 6 wierzchołków, kwadrat ma 4 boki.
  "Wpisywanie" oznacza, że każdy wierzchołek 6-kąta ma leżeć na boku kwadratu.
  Więc albo na 1 bok kwadratu przypada 6 / 4 = 3 / 2 wierzchołka 6-kąta, co jest niemożliwe, albo na 2 bokach kwadratu leżą po 2 wierzchołki 6-kąta, na dwóch pozostałych po 1.
  
  Zobacz załącznik.
  
  W czarny kwadrat ABCD próbuję wpisać zielony sześciokąt EFGJK..
  Niech KE = a, AD = b jak na rysunku.
  Aby sześciokąt był foremny, czyli miał boki i kąty jednakowe punkty K i H
  oraz punkty E i G muszą leżeć na poziomych liniach.
  Podobnie F i J musi leżeć na linii pionowej oraz trójkąty: JDK, JCH muszą być podobne, tak samo jak trójkąty AFE i FBF, na dodatek podobne do JKD.
  Wobec tego punkt J jest środkiem odcinka CD, punkt F środkiem AB.
  Zauważ, że jeśli przesuniesz któryś z punktów G,H,K,E,F, J zdeformujesz kąty w 6-kącie.
  Przestanie on być foremny.
  
  Skoro ma być foremny to KJ = a, zgoda?
  Ale: b = a + KD + EA oraz KD = EA czyli KD = (b - a) / 2.
  W trójkącie KDJ z warunku, że sześciokąt jest foremny ma być KJ =a.
  Ale jednocześnie kąt KJH = 120 stopni (wymagane dla foremności)
  Kąty KJD i HJC są równe (z symetrii) więc kąt KJD = 30 stopni.
  To wymusza, aby sinus tego kąta, czyli KD / KJ = 1/2.
  Z poprzednich obliczeń KD / KJ = [(b - a) / 2 ] / [a] = 1 / 2.
  To daje a = b / 2 czyli b =2a.
  
  Teraz już z górki: KD = a/2,
  z kosinusa 30 stopni: DJ = a * pierwiastek(3) / 2.
  
  Pole = 4 * pole KDJ = a^2 * pierwiastek(3).
  
  A myślałem, że to się nie uda!

  Załączniki

  • 4i6.pdf (19 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 4.10.2012 (16:19)

    Wiem gdzie jest byk - na samym końcu. Nie z kosinusa, ale z kotangensa.