Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 5.10.2012 (15:36)

  Oznaczmy:
  Oś X równolegle i zgodnie do prądu rzeki. Oś Y prostopadle do X.
  d = 300 m - szerokość rzeki
  Wektor v = (vx, vy) = (1.2, 0) - wektor prądu rzeki
  Wektor u = u * (cos(alfa), sin(alfa)) = 5 * (cos(alfa), sin(alfa)) - wektor prędkości łodzi. Kąt alfa liczymy od osi X przeciwnie do zegara, czyli alfa = 0 oznacza, że łódź płynie zgodnie z prądem itd.
  
  Wypadkowa prędkość łodzi wynosi
  v + u = [ u cos(alfa) + vx, u sin(alfa) ]
  
  Jednocześnie łódź ma do pokonania drogę d / sin(alfa)
  
  Zapiszmy to razem, licząc wartość wypadkowej prędkości z tw. Pitagorasa. Czas t wynosi (przejdę na LaTeX)
  
  t = \frac{d/\sin\alpha}{\sqrt{(u\cos\alpha + v_x)^2 + u^2\sin^2\alpha}} = \frac{d}{\sin\alpha\sqrt{u^2 + 2 u v_x\cos\alpha + v_x^2}}
  
  Czas będzie najkrótszy gdy mianownik jest największy. Różniczkujemy TYLKO mianownik M po alfa. Po uproszczeniach i porównaniu licznika pochodnej do zera:
  
  2(u^2 + v_x^2)\cos\alpha + u v_x(1+ 3\cos(2\alpha)) = 0
  
  Jak się to rozwiąże podstawiając już konkretne dane i zamieniając cos(2alfa) na cos^2 z jedynki trygonometrycznej to wychodzi :
  alfa = około 1.37 radianów, czyli nieco mniej od pi/2.
  
  Natomiast czas to
  
  t = \frac{d}{u_y} = \frac{300}{5\cdot\sin\alpha}\,\approx 61.2\,\mbox{s}
  
  Trochę się dziwię, że nie wyszła wypadkowa prędkość pod kątem prostym do brzegu, może jednak gdzieś się rąbnąłem...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    student23 6.10.2012 (11:30)

    dzieki za pomoc ! :) teraz tylko spróbuje to ogarnąć ! :)