Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 28.9.2012 (03:31)

  Lewa strona równania z powodu y^2 jest "symetryczna" względem osi OX.
  Obie strony z powodu x^2, x^4 są "symetryczne" względem osi OY.
  (nie wiem, czy tak się mówi po matematycznemu).
  W każdym razie wystarczy policzyć całkę w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i pomnożyć przez 4. Z powodu x^2, y^2 aż się prosi aby przejść do współrzędnych biegunowych. Ale rysunek możemy zrobić jeszcze we wsp. kartezjańskich. Z podanego wzoru wychodzi:
  
  y = \sqrt{x^{4/3}-x^2}
  
  w I ćwiartce argument pierwiastka powyżej ma być nieujemny, co oznacza:
  
  x^{4/3}-x^2 = x^{4/3}\left(1-\sqrt[3]{x^2}\,\right) \geqslant 0 \qquad\mbox{zatem}\qquad x \leqslant 1
  
  Rysunek, taki jak znak "nieskończoność" masz w załączniku.
  
  Robimy całkę. We wsp. biegunowych (standardowo, r, fi) po lewej stronie jest r^6, po prawej r^4 * cos^4(fi), czyli po skróceniu r^4
  
  r = \cos^2\varphi
  
  Pole P w I ćwiartce (r się zmienia od 0 do 1, fi od 0 do pi/2)
  
  P = \int\limits_0^1\int\limits_0^{\pi/2} \cos^2\varphi \,d\varphi dr = \int\limits_0^1\frac{\pi}{4}\,dr = \frac{\pi}{4}
  
  Całe pole wynosi więc pi. Liczenia całki z kwadratu kosinusa chyba nie muszę objaśniać [na wykresie cos^2 od 0 do 2pi przenosi się dolne kawałki sinusoidy na górne i wychodzi średnia 1/2 razy 2 pi) ]

  Załączniki

  • rysunek.jpg (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie