Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.9.2012 (07:43)

  1.
  Jest takie twierdzenie o dwusiecznej, że dzieli ona przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do kąta, którego jest dwusieczną. W tym zadaniu jest to 10 : 15.
  Jeżeli przez x oznaczymy krótszy z szukanych odcinków dostajemy proporcję:
  
  \frac{x}{x+2}=\frac{10}{15}
  
  Po wymnożeniu na krzyż i rozwiązaniu równania na x dostajemy x = 4.
  Dłuższy odcinek ma więc długość 6, a cały bok długość 10.
  ==================
  
  2.
  Twierdzenie to samo. Mamy 2 możliwości: a = 10 lub a = 15. Proporcja:
  
  \frac{10}{b}=\frac{10}{15}\qquad\mbox{zatem}\qquad b=15
  
  lub:
  
  \frac{15}{b}=\frac{10}{15}\qquad\mbox{zatem}\qquad b=\frac{45}{2}
  
  Trzeci bok ma albo 25 albo 37,5
  =================
  
  3.
  Jeśli przez O oznaczymy punkt przecięcia trójkątów to podobne są trójkąty ABO i CDO.
  Oznaczmy: a = |AB|, b = |CD|, H - wysokość z punktu O trójkąta ABO, h - wysokość z punktu O trójkąta CDO. Pole trapezu wyraża się wtedy wzorem:
  
  P = (1/2)(a + b)(H + h) = (1/2)(aH + ah + bH + bh)
  
  Iloczyny aH i bh znamy, są to podwojone pola danych trójkątów czyli 8 i 4.
  Ponieważ pola trójkątów podobnych są w stosunku 4 : 2 czyli 2 : 1
  boki trójkątów są w stosunku pierwiastek(2) : 1. Dlatego:
  
  a = b * pierwiastek(2) czyli iloczyn ah = bh * pierwiastek(2) = 4 * pierwiastek(2)
  oraz:
  H = h * pierwiastek(2) czyli iloczyn bH = bh * pierwiastek(2) = 4 * pierwiastek(2)
  Wstawiamy to do wzoru na P
  
  P = \frac{1}{2}\left(8 + 4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+4\right) = 6 + 4\sqrt{2}
  
  ================
  
  4.
  Analogicznie jak 3, tylko zamiast 4 wstawiamy 6, zamiast 8 wstawiamy 12
  
  P = \frac{1}{2}\left(12 + 6\sqrt{2}+6\sqrt{2}+6\right) = 9 + 6\sqrt{2}
  
  ===============

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie