Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 20.9.2012 (09:23)

  2.88.
  Przy równaniach zawierających pierwiastek przenosimy wszystko poza pierwiastkiem na drugą stronę i podnosimy obie strony do kwadratu. Należy przedtem zawsze określić dziedzinę: jakie może być x, aby wyrażenie pod pierwiastkiem było nieujemne.
  Po znalezieniu rozwiązań powstającego równania kwadratowego należy te rozwiązania sprawdzić podstawiając do początkowego równania gdyż podnoszenie do kwadratu może wprowadzać dodatkowe rozwiązania!
  
  a)
  Dziedzina: 1 - 3x >= 0 więc x <= 1/3.
  Przenosimy:
  
  pierwiastek(1-3x) = -3 - x ; podnosimy do kwadratu:
  
  1 - 3x = (-3 - x)^2 ; wymnażamy nawias i przenosimy wszystko na lewą stronę, mnożąc też przez -1
  
  x^2 + 9x + 8 = 0
  
  Używamy metody z zadania 2.86
  9 = 8+1 oaz 8 = 8*1 więc:
  
  x^2 + 9x + 8 = (x+1)(x+8) = 0
  
  x1 = -1 ; x2 = -8 ; ale należy SPRAWDZIĆ rozwiązania.
  
  Dla x = -1 mamy pierwiastek(1+3) + 3 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4. Złe rozwiązanie.
  Dla x = -8 mamy pierwiastek(1+24) + 3 - 8 = 5 + 3 - 8 = 0. Dobre rozwiązanie.
  Odpowiedź: x = -8. Końcowy wynik należy do dziedziny.
  -----------------------
  
  b)
  Dziedzina: 22 - 9x >= 0 więc x < 9/22
  Od razu podnosimy do kwadratu obie strony:
  
  9(x+2)^2 = 22-9x ; wymnażamy nawias, przenosimy wszystko na lewo
  
  9x^2 + 45x + 14 = 0 ; zastosujemy "zwykłe" rozwiązanie z "deltą"
  delta = 45^2 - 4 * 9 * 14 = 1521 = 39^2
  x1 = (-45 - 39) / 18 = -14 / 3
  x2 = (-45 + 39) / 18 = -1 / 3
  
  Sprawdzamy:
  Dla x = -14/3
  Lewa strona: 3 * (-14/3 + 2) = -8.
  Prawa strona jest pierwiastkiem i ni może być ujemna. Złe rozwiązanie.
  
  Dla x = -1/3
  Lewa strona: 3 * (-1/3 + 2) = 5
  Prawa strona = pierwiastek[22 - 9*(-1/3)] = pierwiastek(25) = 5.
  Zgadza się. Odpowiedź: x = 5. Końcowy wynik należy do dziedziny.
  --------------------
  
  c)
  Dziedzina: 3/4 - x >= 0 więc x < 3/4.
  Obie strony do kwadratu:
  x^2 = 3/4 - x ; porządkujemy:
  
  x^2 + x - 3/4 = 0
  delta = 1^2 - 4 * 1 * (-3/4) = 4 = 2^2
  x1 = (-1 - 2) / 2 = -3/2
  x2 = (-1 + 2) / 2 = 1/2
  
  Sprawdzamy:
  Dla x = -3/2
  Prawa strona = pierwiastek(3/4 + 3/2) = pierwiastek(9/4) = +3/2
  Lewa strona to -3/2. Zły wynik.
  Dla x = 1/2
  Prawa strona = pierwiastek(3/4 - 1/2) = pierwiastek(1/4) = 1/2
  Lewa strona to też 1/2. Dobry wynik.
  Odpowiedź: x = 1/2. Końcowy wynik należy do dziedziny.
  -------------------
  
  d)
  Dziedzina: Na pewno x >= -2 (z wewnętrznego pierwiastka), ale też:
  x - 1 + pierwiastek(x+2) >= 0. Nie będziemy na razie tego obliczać, sprawdzimy, czy końcowy wynik należy do dziedziny.
  
  Podnosimy obie strony do kwadratu:
  
  x - 1 + pierwiastek(x + 2) = 9
  
  Przenosimy x - 1, aby "osamotnić" pierwiastek
  
  pierwiastek(x + 2) = -x + 10 ; ponownie obie strony do kwadratu
  
  x + 2 = (-x + 10)^2 ; porządkujemy, mnożymy przez -1.
  
  x^2 - 21x + 98 = 0
  delta = (-21)^2 - 4 * 1 * 98 = 49 = 7^2
  x1 = (21 - 7) / 2 = 7
  x2 = (21 + 7) / 2 = 14
  
  Sprawdzamy:
  Dla x = 7
  pierwiastek [ 7-1+pierwiastek(7+2) ] = pierwiastek(7-1+3) = 3. Dobry wynik
  Dla x = 14
  pierwiastek [ 14-1+pierwiastek(14+2) ] = pierwiastek(14-1+4) nie jest równy 3.
  Zły wynik.
  Odpowiedź: x = 7. Końcowy wynik należy do dziedziny.
  ----------------------
  
  e)
  Analogicznie jak przykład (d). Pierwszy raz do kwadratu i "osamotniamy" pierwiastek:
  
  pierwiastek(140+x) = 16 - x ; obie strony do kwadratu:
  
  140 + x = (16 - x)^2 ; porządkujemy, mnożymy przez -1
  
  x^2 - 33x + 116 = 0
  delta = (-33)^2 - 4 * 1 * 116 = 625 = 25^2
  x1 = (33 - 25) / 2 = 4
  x2 = (33 + 25) / 2 = 29
  
  Sprawdzamy:
  pierwiastek [ 4 + pierwiastek(140+4) ] = pierwiastek(4+12) = 4. Dobry wynik.
  pierwiastek [ 29 + pierwiastek(140+29) ] = pierwiastek(29+13) nie jest równe 4. Zły wynik.
  Odpowiedź: x = 4. Końcowy wynik należy do dziedziny.
  --------------------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie