Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 16.9.2012 (15:12)

  5a)
  =\frac{x+y}{x\,\sqrt{x^2 + 2xy + y^2}} = \frac{x+y}{x\,\sqrt{(x+y)^2}} = \frac{x+y}{x\,(x+y)} = \frac{1}{x}
  5b)
  =\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y}
  5c)
  =\frac{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}
  
  5d) Może tak? Nie mam jakich innych pomysłów.
  
  =\frac{(\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}} - \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}})\,\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}} =
  
  = \frac{2x+2\sqrt{2x-1}-\sqrt{4x^2-4(2x-1)}}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}} =\frac{2x+2\sqrt{2x-1}-2\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}}=
  
  = \frac{2x+2\sqrt{2x-1} - 2(x-1)}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}} = \frac{2\sqrt{2x-1} +2}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}}
  
  -----------------
  6a) Wskazówka:
  Przenosimy 2xy na prawą stronę, która staje się równa (czytaj ^2 jako "do kwadratu")
  
  x^2 + y^2 -2xy = (x-y)^2 >= 0
  
  W rzeczywistym dowodzie zaczynamy "od końca, tzn wychodzą z faktu że (x-y)^2 >= 0 mamy
  0 <= x^2 - 2xy + y^2 ; i dalej
  2xy <= x^2 + y^2
  
  6b)
  Analogicznie, ponieważ:
  x + y >= 0 ; z założenia zadania że x >= 0 oraz y >=0
  
  x+y = (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - 2\sqrt{x}{\sqrt{y} \geqslant 0
  
  Przenosimy środkowy wyraz na prawą stronę i dzielimy przez 2
  
  \frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{xy}
  
  6c)
  Wskazówka: Mnożymy obie strony przez 2xy, dostajemy:
  
  4x^2 + y^2 >= 4xy ; czyli
  4x^2 - 4xy + y^2 >= 0 ; czyli
  (2x + y)^2 >= 0
  
  Dowód rzeczywisty prowadzimy "od końca", tzn. wychodząc z (2x+y)^2 >= 0 robimy mnożenie nawiasu, przeniesienie 4xy na prawo i podzielenie przez 2xy obu stron.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie