Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 7.9.2012 (13:39)

  61a.
  Wygodniej, niż liczyć podstawę i wysokość trójkąta jest obliczyć kąt przy wierzchołku, wynoszący:
  180 - 37 - 37 = 106 stopni,
  a następnie pole P ze wzoru:
  
  P = \frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot\sin 106{}^\circ\,\approx\, 7{,}69
  
  ========================
  
  61b.
  Wysokość trójkąta dzieli kąt 70 stopni na dwa kąty po 35 stopni, a podstawę na połowy o długości 5. Stosunek wysokości do połowy podstawy to ctg 35, wiec wysokość wynosi 5 * ctg 35, a całe pole:
  
  P = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\cdot \mbox{ctg}\,35{}^\circ\,\approx\,35{,}7
  
  ========================
  
  62a.
  Przykładowo (nie za elegancko, ale prosto). Policzymy AC = AD * cos 54. A teraz w drugą stronę: Kąt CAD jest połową kąta CAB czyli wynosi 27 stopni. Wobec tego AD = AC / cos 27.
  Łączymy oba wzory:
  
  |AD| = |AB|\cdot\frac{\cos\, 54{}^\circ}{\cos\, 27{}^\circ} \,\approx\,6{,}6
  
  ========================
  
  62b.
  Na przykład korzystając z tw. kosinusów. Oznaczmy kąt ABC przez alfa.
  Wiemy, że alfa = kąt ABC = 90 - 54 = 36 stopni
  oraz że odcinek |BC| = |AB| * cos alfa
  oraz że |BD| jest połową |BC|.
  Twierdzenie kosinusów.
  
  AD = \sqrt{AB^2 + BD^2 - 2\cdot |AB|\cdot |BD|\cdot\cos\alpha}
  
  gdy wstawimy BD jako połowę BC, oraz |BC| jak wyżej to mamy:
  
  |AD| = \sqrt{AB^2 + \frac{1}{4}AB^2\,\cos^2\alpha - AB^2\cdot\cos^2\alpha}
  
  i dalej, wyciągając kwadrat AB oraz 1/4 przed pierwiastek:
  
  |AD| = \frac{|AB|}{2}\,\sqrt{4-3\cos^2 36{}^\circ}\,\approx\,7{,}14
  
  Mogłem się tu pomylić! Jest gotowe twierdzenie na długość środkowej trójkąta, ale nie wiem, czy było na lekcji?
  ========================
  
  63a.
  Z twierdzenia kosinusów od razu (d1, d2 to długości przekątnych)
  
  d_1 = \sqrt{5^2+5^2 - 2\cdot 5^2\cdot\cos 48{}^\circ}\,\approx\,4{,}07\,\mbox{cm}
  
  d_2 = \sqrt{5^2+5^2 + 2\cdot 5^2\cdot\cos 48{}^\circ}\,\approx\,9{,}14\,\mbox{cm}
  
  ========================
  
  63b.
  Narysuj wysokości tego trapezu opuszczone z końców krótszej podstawy na dłuższą. Zobaczysz, że odcinają one z dłuższej postawy odcinki po (10-8) / 2 = 1 cm.
  Z powstałych trójkątów prostokątnych wynika, że wysokość trapezu h wynosi:
  
  h = 1 * tg 72
  
  a ramię wynosi 1 / cos 72
  
  Pole P:
  
  P = \frac{1}{2}(8+10)\cdot\mbox{tg}\,72{}^\circ \,\approx\,27{,}7\,\mbox{cm}^2
  
  Obwód O
  
  O = 8 + 10 + 2\cdot \frac{1}{\cos 72{}^\circ}\,\approx\,24{,}5\,\mbox{cm}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie