Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 25.8.2012 (07:28)

  Traktujemy czas t i przemieszczenie x jako niezależne zmienne. Różniczkujemy y(x,t) 2 razy cząstkowo (dlatego ważne jest, że x NIE zależy od t). Zanim napiszę te pochodne zwracam Twoją uwagę na v^2 we wzorze. Jest to prędkość rozchodzenia się fali. Prędkość v jest iloczynem częstotliwości f i długości fali lambda, a te wielkości wiążą się z "w" i "k" w równaniu falowym.
  
  Najpierw pochodne. Zadanie jest ze studiów, więc wiesz, jak to robić.
  
  \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-A\omega^2\sin(\omega t - kx)
  
  \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=-Ak^2\sin(\omega t - kx)
  
  Pierwszą cząstkową pochodną dzielimy stronami przez w^2, drugą przez k^2. Prawe strony są wtedy równe więc mamy z porównania lewych stron:
  
  \frac{1}{\omega^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = \frac{1}{k^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
  
  i po drobnych przekształceniach:
  
  \frac{\partial^2y}{\partial t^2} - \frac{\omega^2}{k^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = 0
  
  Teraz istotna część: Częstotliwość kątowa omega = 2 pi f, gdzie f jest "zwykłą" częstotliwością fali. Natomiast liczba falowa "k" = 2 pi / lambda, gdzie lambda jest długością fali. Czyli:
  
  \frac{\omega^2}{k^2}=\left(\frac{2\pi f}{2\pi /\lambda}\right)^2 = (f\,\lambda)^2 = v^2
  
  jak pisałem na początku. To kończy dowód. Jeśli to z "k" jest niejasne, to zapiszę jeszcze równanie fali w postaci z użyciem lambda i okresu T, równego odwrotności częstotliwości f.
  
  y(x,t) = A\sin\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x}{\lambda}\right)
  
  Może to pokazuje lepiej zależności k, lambda, w, f ?
  W razie wątpliwości pisz na priw.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 27.8.2012 (12:25)

    "Pierwszą cząstkową pochodną" - nieprecyzyjnie napisałem. Powinno być "pierwsze równanie z drugą pochodną cząstkową dzielimy...."