Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 28.6.2012 (10:05)

  Zadanie na prawdopodobieństwo warunkowe.
  Zdarzenie A to rzut kostką
  Zdarzenie B to losowanie kul tego samego koloru
  a)
  Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia iloczynu zdarzeń B n A.
  Zdarzenie A dzieli się na wykluczające się zdarzenia:
  A1 - otrzymanie 1 oczka ; p(A1) = 1/6
  A2 - otrzymanie 2 lub więcej oczek ; p(A2) = 5/6
  Wzór:
  
  p(B \cap A) = p[B \cap (A_1 \cup A_2)] = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2)
  
  i dalej ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
  
  p(B \cap A) = p(B | A_1)\,p(A_1) + p(B | A_2)\,p(A_2)
  
  Obliczamy p(B | A1) i p(B | A2)
  
  B | A1 to szansa na losowanie kul tego samego koloru z pierwszego pojemnika. Wygodniej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzenie przeciwnego (kule różnych kolorów). Zdarzeń elementarnych jest 15 (kombinacje 2 z 6 kul). Zdarzeń sprzyjających jest 4 * 2 = 8 (kombinacje 1 z 4 razy kombinacje 1 z 2).
  Szansa na różnokolorowe kule to 8/15 więc
  p(B | A1) = 1 = 8/15 = 7/15.
  
  Analogicznie liczymy p(B | A2). Tak samo jest 15 zdarzeń sprzyjających i 3 * 3 = 9 zdarzeń "kule różnokolorowe". Więc:
  p(B | A2) = 1 - 9/15 = 6/15
  
  Wstawiamy wszystko do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
  
  p(B \cap A) = \frac{7}{15}\cdot\frac{1}{6} + \frac{6}{15}\cdot\frac{5}{6} = \frac{37}{90}\,\approx\,0{,} 41
  
  Zauważ, że jest to inny wynik niż gdyby zmieszać oba pojemniki. Wtedy jest 7 białych i 5 czarnych, zdarzeń elementarnych jest 12*11/2 = 66, zdarzeń "różnokolorowe jest 7 * 5 = 35 i szansa na kule tego samego koloru to 1 - 35/66 = 31/66 = około 0,47
  
  b)
  Stosujemy wzór Bayesa. Obliczamy prawdopodobieństwo p(A1 | B)
  
  p(A_1 | B) = \frac{p(B | A_1)\,p(A_1)}{p(B\cap A)} = \frac{ \frac{7}{15}\cdot\frac{1}{6}}{\frac{37}{90}} = \frac{7}{37}\,\approx\,0{,}189
  
  Zauważ, że wynik jest większy od1/6 = 0,167. Powodem jest większa szansa na wylosowanie jednokolorowych kul z pierwszego pojemnika niż z drugiego. Gdyby obliczyć to samo dla liczby oczek > 1 wynik byłby 30/37 < 5/6.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie