Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.6.2012 (11:05)

  Najpierw równanie parametryczne.
  Płaszczyzna w R^3 jest określana przez 2 niezależne liniowo wektory i punkt P.
  Szukana płaszczyzna ma być prostopadła do podanych, a wektor prostopadły do płaszczyzny ax + by + cz + d = 0 to po prostu [a,b,c].
  Wobec tego wektory kierunkowe szukanej płaszczyzny to: [1,1,1]; [1, -1, 0]
  
  Dla t, u będące elementami R punkt (x,y,z) szukanej płaszczyzny spełnia równanie:
  
  (x,y,z) = (2, 3, -6) + [1, 1, 1] t + [1, -1, 0] u - postać parametryczna.
  
  Aby znaleźć postać ogólną czyli Ax + By + Cz + D = 0 ułożymy 3 równania. Zauważ, że ogólny wzór można podzielić np przez D, postać:
  Ax + By + Cz + 1 = 0 też jest dobra.
  (nie czepiaj się D = 0, tutaj nie ma tego przypadku. Brak takich t, u, aby parametryczna postać dawała (0,0,0)).
  Znajdziemy z postaci parametrycznej 3 różne punkty na płaszczyźnie.
  Pierwszy punkt to P = (2, 3, -6) (podstawiamy t = u = 0)
  Drugi punkt to (3, 4, -5) (podstawiamy t = 1; u = 0)
  Trzeci punkt to (3, 2, -6) (podstawiamy t = 0; u = 1)
  Z liniowej niezależności wektorów kierunkowych wynika, że podane punkty NIE MOGĄ leżeć na jednej prostej (dowód zostawiam jako ćwiczenie :)
  Podstawiamy do równania Ax + By + Cz + 1 = 0 kolejne punkty i dostajemy:
  2A + 3B -6C + 1 = 0
  3A + 4B -5C + 1= 0
  3A +2B -6C + 1 = 0
  Rozwiązaniem są liczby (użyłem programu "Maxima", w końcu mamy XXI wiek)
  A = -1/17; B = -1/17; C = 2/17.
  Jak się całość pomnoży przez 17 to wyjdzie ogólne równanie bez ułamków:
  
  -x - y + 2z + 17 = 0 - postać "ogólna"
  
  Można sprawdzić rozwiązanie. Dla punktu P:
  -2 -3 +2 * (-6) + 17 = 0. Tak, płaszczyzna przechodzi przez P.
  Wektor prostopadły do tej płaszczyzny = [-1, -1, 2]
  Policz iloczyny skalarne tego wektora z prostopadłymi do pozostałych płaszczyzn. Wychodzą zera.
  [-1, -1, 2] razy skalarnie [1, 1, 1] = 0
  [-1, -1, 2] razy skalarnie [1, -1, 0] = 0
  Skoro prostopadłe do płaszczyzn są prostopadłe do siebie, to płaszczyzny są prostopadłe (to chyba wręcz definicja, dawno nie byłem w szkole)
  
  W razie czego pisz na priv, ale pewnie będę dostępny w niedzielę.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie