Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 29.5.2012 (16:00)

  Pierwsza granica:
  licznik i mianownik są różniczkowalne i dążą do 0 gdy x dąży do zera.
  Spełnione są założenia tw. de Hospitala. Różniczkujemy:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{x-\sin x}{x - \mbox{tg}\, x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{1-\cos x}{1-\frac{1}{\cos^2 x}}
  
  Powstałe wyrażenie przekształcamy dalej:
  
  =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{-(\cos x - 1)\,\cos^2 x}{(\cos x - 1)(\cos x + 1)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{-\cos^2 x}{1+\cos x} = -\frac{1}{2}
  
  Inna metoda to rozwinięcie sinusa i tangensa w szereg McLaurina. Wyrazy z "x" się skracają, stosunek wyrazów z x^3 daje ten sam wynik.
  
  Druga granica:
  Przez podstawienie: n = 2x (czyli -x = -n/2) sprowadzamy granicę do znanego przypadku:
  
  = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\,\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{-1/2} = \left[\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{-1/2}=e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
  
  Trzecia granica.
  Ponownie tw. de Hospitala, ale trzeba x * ln x zapisać jako: ln x / (1/x).
  Granica ma sens tylko z prawej strony, dla x > 0. Licznik i mianownik dążą do nieskończoności i po ich zróżniczkowaniu mamy:
  
  =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\,(-x) = 0

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie