Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 5.5.2012 (09:46)

  Ten plik z załącznika okazał się być JPG, nie PNG. Może zdążę "na jutro" bo jest jeszcze rano. W zadaniu 1a) nie mogę się doczytać tego, co jest w liczniku wykładnika.
  Jest to "1 - x" ?
  
  ====================
  
  Jeżeli tak, to mogę przepisać:
  
  Zadanie 1a.
  
  \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1-x}{x}} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^0
  
  Zakładam, że x jest różne od zera.
  Ponieważ 1/2 < 1 to funkcja wykładnicza jest malejąca i aby porównać wykładniki muszę odwrócić znak nierówności:
  
  \frac{1-x}{x} \geqslant 0
  
  Ta nierówność jest już łatwa: albo licznik i mianownik niedodatnie, albo oba nieujemne, czyli:
  
  1 - x >= 0 oraz x >= 0 czyli: x <= 1 oraz x >= 0
  
  lub:
  
  1 - x < 0 oraz x < 0 czyli: x > 1 oraz x < 0. Sprzeczne.
  
  Wobec tego rozwiązaniem jest (pamiętaj x nie może być zerem)
  
  x \in (0, 1>
  
  ============================
  
  Zadanie 1b.
  
  Znów nie mogę się doczytać: w mianowniku przy wykładniku 16 jest x+3, czy x+8. Chyba x+3.
  Zakładam, że 3. Mogę pozastępować 16, 8 i 4 potęgami dwójki:
  
  (2^4)^{\frac{x}{x+3}}=2^2\cdot \left(\frac{2^x}{2^3}\right)^{\frac{1}{2x+5}}
  
  Korzystając z praw działań na potęgach (potęga potęgi to iloczyn wykładników, dzielenie przez potęgę to odejmowanie wykładników itp) mogę to wszystko zapisać jako 2 do jakiejś potęgi = 2 do innej potęgi, z równości wykładników wynika, że:
  
  4\cdot\frac{x}{x+3} = 2+(x-3)\cdot\frac{1}{2x+5}
  
  [ Zacznij od dużego nawiasu po prawej, w nim jest 2^x / 2^3 = 2^(x-3) ] itd.
  Należy założyć, że x jest różne od -3 oraz od -5/2.
  Jak się to równanie sprowadzi do wspólnego mianownika, poprzenosi itd to wyjdzie równanie kwadratowe z rozwiązaniami:
  x1 = -7/3 ; x2 = 3
  Przepraszam, że nie piszę szczegółów, ale używam programu do rozwiązywania równań kwadratowych, jak masz równania wykładnicze, to kwadratowe umiesz.
  
  ============================
  
  Zadanie 2.
  Założenia: x >= 1 ponieważ log pod pierwiastkiem ma być nieujemy.
  Nazywam y = log x i podnoszę obie strony do kwadratu:
  
  (4-y)^2 = 9y
  
  To równanie kwadratowe ma rozwiązania: y1 = 1, y2 =16
  Rozwiązania trzeba jednak sprawdzić! Podstawienie x = 10^16 prowadzi do ujemnej wartości po lewej stronie, a pierwiastek ma być dodatni. Odrzucamy to rozwiązanie.
  Dokładniej: Podnoszenie do kwadratu wprowadziło "ekstra" rozwiązanie gdzie:
  (4-16)^2 = 3*4. Po lewej stronie jest kwadrat minus 12, po prawej 12 kwadrat.
  Kwadraty są równe, ale wyrażenia pod nimi - już nie. Tu jest pułapka.
  
  Zostaje: x = 10
  
  ============================
  
  Założenia: w mianownikach nie ma zer, czyli alfa różne od k * pi.
  
  Lewa strona:
  
  = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha\,(1+\cos\alpha) + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)} =
  
  = \frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)} = \frac{\cos\alpha + 1}{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 5.5.2012 (11:48)

    Pomyliłem się w zapisie (4-16)^2 = 3*4. Przepraszam. Mam tylko kilka minut na poprawki, nie zauważyłem i już nie mogę zmieniać treści rozwiązania.
    Poza tym całe to zdanie jest źle napisane. Gdy y = 16 owszem po prawej jest 16*9=144, ale po lewej jest MINUS 12 do kwadratu. Też 144. Nie wolno wziąć ujemnej wartości pierwiastka, dlatego odrzuca się x=16. TO jest ten efekt błędnego rozwiązania wynikającego z podniesienia do kwadratu.