Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 20.4.2012 (08:54)

  1.
  Dziedzina: x należy do R \ {-3, 1, 2, 3} (tzn. x nie może być równe -3, 1, 2, 3)
  
  = \left(\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x-5}{x^2-9}\right)\,\cdot\,\left(\frac{5(x-1)-4(x-2)}{(x-2)(x-1)} \right)=
  
  = \frac{x^2+4x-5}{x^2-9}\,\cdot\,\frac{x+3}{x^2-3x+2} = \frac{x+5}{x^2-5x + 6}
  
  2.
  Z tw. Talesa dostajemy:
  
  \frac{x+1}{2x} = \frac{3x}{2x + x + 2}
  
  x ma być większe od zera bo to długość odcinka więc mianowniki powyżej nigdy się nie zerują. Mnożymy
  proporcję:
  
  (3x+2)(x+1) = 6x^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad 3x^2 + 5x + 2 = 0
  
  Po rozwiązaniu to równanie kwadratowe daje x = 2
  (odrzucamy ujemne rozwiązanie x = -1/3)
  
  3a.
  Przenosimy 2 na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika
  
  minus (x + 5)(x + 1) >= 0 czyli (x + 5) (x + 1) <= 0.
  
  Dziedzina: R \ {-1}.
  Wyrażenie jest ujemne gdy jeden nawias jest ujemny, drugi dodatni.
  
  x + 5 < 0 oraz x + 1 > 0 daje: x < -5 oraz x > -1. Sprzeczne
  x + 5 > 0 oraz x + 1 < 0 daje przedział (-5, -1)
  ale nierówność jest <= więc 5 też należy do zbioru rozwiązań: <-5, 1)
  
  3b.
  Dziedzina = R \ {5/2, 4}.
  Przenosimy wszystko na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i dostajemy:
  
  \frac{(2x+1)}{(2x-5)(x-4)} > 0
  
  Punktami "krytycznymi", gdy któryś z nawiasów jest równy 0, są w kolejności:
  x1 = -1/2, x2 = 5/2, x3 = 4.
  Gdy x > x3 wszystkie nawiasy są dodatnie. Pasuje.
  Gdy x > 5/2 ale x < 4 jeden nawias jest ujemny, dwa dodatnie. Odpada.
  Gdy x > -1/2 ale x < 5/2 jeden nawias jest dodatni, dwa ujemne. Pasuje.
  Gdy x < -1/2 wszystkie nawiasy są ujemne. Odpada.
  
  x \in (-1/2, 5/2)\cup (4, +\infty)
  
  4.
  Dziedzina: x, y inne od zera.
  Porównujemy prawe strony:
  
  3x = 3/x ; więc x^2 = 1 ; stąd x1 = -1; x2 = . Rozwiązania należą do dziedziny.
  Ponieważ y = 3x mamy dwie pary rozwiązań:
  
  (-1, -1) oraz (1, 1)
  
  Interpretacja graficzna: narysuj hiperbolę y = 3 / x i prostą y = 3x. Punkty ich przecięcia to rozwiązania.
  
  5a.
  Zrób ten wykres (hiperbole są w II i IV ćwiartce).
  Przesuń o 1 w prawo i 2 do dołu.
  
  5b.
  Wierzchołki hiperboli y = -1/x są punkty (-1, 1) oraz (1, -1).
  Po przesunięciu o wektor [1, -2] wierzchołki znajdą się w: (1, -1); (2, -3)
  
  5c.
  Proste, będące osiami symetrii hiperboli y = -1/x to proste y = x oraz y = -x.
  Po przesunięciu o wektor [1, -2] będą to proste:
  y = x - 3; y = -x - 1
  
  6.
  \frac{2x+6}{x+4} = 2\,\frac{x+4-1}{x+4} = \frac{-2}{x+4} +2
  
  Dziedzina: R \ {-4}
  Zbiór wartości: R \ {2}
  
  *7.
  \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
  
  Wobec tego szukane wyrażenie wynosi 3^3 - 3 * 3 = 18

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie