Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.4.2012 (08:56)

  Mnożąc równania przez odpowiednie wartości doprowadzimy do tego, że będzie można odejmować je stronami. To bezpieczna metoda gdyż mnożyć można także przez zero, a nie wiadomo, jakie są a, b.
  Jak gdzieś się pojawi ^2 czytaj "do kwadratu"
  
  Pierwsze równanie mnożę przez 8, drugie przez 'a' aby wyeliminować x.
  
  8ax + 16y = 8
  8ax + a^2 y = ab
  ----------------------- odejmuję pierwsze od drugiego
  (a^2 - 16) y = ab - 8 ; dostaję y:
  
  y = \frac{ab-8}{a^2 - 16}
  
  Teraz będę eliminować y. Pierwsze równanie mnożę przez 'a', drugie przez 2
  a^2 + 2ay = a
  16x + 2ay = 2b
  ----------------------- odejmuję drugie od pierwszego
  (a^2 - 16) x = a - 2b ; dostaję x
  
  x = \frac{a-2b}{a^2 - 16}
  
  =========================================
  
  Dyskusja:
  Zarówno przy x jak i przy y w mianowniku jest a^2 - 16. Jeżeli to wyrażenie jest niezerowe to niezależnie od wartości b układ ma 1 rozwiązanie. Czyli
  
  1)
  Jeżeli a jest elementem zbioru R - {-4, 4} układ ma jedno rozwiązanie.
  
  Jeżeli w mianowniku pojawi się zero (to znaczy a = 4 lub a = -4 to:
  Gdy oba liczniki w x oraz y są zerami układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  W przeciwnym razie układ jest sprzeczny.
  
  Zobaczmy, jakie są warunki, aby oba liczniki były jednocześnie zerem:
  ab - 8 = 0
  a - 2b = 0
  Z drugiego równania mamy a = 2b (patrz ** niżej), wstawiamy do pierwszego:
  2b^2 - 8 = 0 więc b^2 = 4 czyli b = 2 lub b = -2.
  
  (**) Zauważ, że podstawienie: a = 2b wymaga, aby a i b miały ten sam znak, czyli z czterech różnych kombinacji a, b pozostają tylko dwie:
  
  2)
  Jeśli a = 4 i b = 2 lub a = -4 i b = -2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  
  3)
  Jeżeli nie są spełnione warunki (1) lub (2) układ jest sprzeczny.
  (to znaczy gdy a = -4 i b jest inne niż -2 lub a = 4 i b jest inne niż 2)
  
  ================================
  
  Zobaczmy co dzieje się z układem w paru przypadkach "szczególnych:
  a = 4, b = 2
  
  4x + 2y = 1
  8x + 4y = 2 <---- drugie równanie jest podwojonym pierwszym
  
  a = 4, b = -2
  
  4x + 2y = 1
  8x + 4y = -2 <---- Układ jest SPRZECZNY, bo współczynniki przy x, y są 2 razy większe, ale zamiast 2 wychodzi -2. To potwierdza naszą analizę. Sprawdź dla przypadków a = -4 oraz b = -2 lub b = 2. Zobaczysz podobne zachowanie.
  
  a = 0, b = 0
  
  0x + 2y = 1
  8x + 0y = 0 <------ jest dokładnie 1 rozwiązanie, x = 0, y =1/2
  
  ======================================
  
  PS: Metodą wyznaczników trzeba się więcej naliczyć, aby dostać x, y, a dalsza dyskusja jest taka sama.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie