Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 16.4.2012 (11:57)

  16.
  W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich. Tego można użyć we wszystkich przykładach.
  
  a)
  Z tego, co pisałem, wynika, że: (x - 2)^2 = 4 * 16 więc:
  albo x - 2 = 8 czyli x1 = 10. Sprawdzenie: 4, 8, 16, zgadza się, q = 2.
  albo x - 2 = -8 czyli x = -6. Sprawdzenie: 4, -8, 16, zgadza się, q = -2.
  
  b)
  2x - 5)^2 = (x - 3)(2x + 1). Jak się to uporządkuje wychodzi:
  2x^2 - 15x + 28 = 0, co daje:
  x1 = 7/2; x2 = 4. Sprawdzenie - podstaw i zobacz, że się zgadza.
  
  c)
  (2x - 3)^2 = 3x * x. Jak się to uporządkuje wychodzi:
  x^2 - 12x + 9 = 0, co daje:
  x1 = 6 - 3 * pierwiastek(3)
  x2 = 6 + 3 * pierwiastek(3)
  Ale jest dodatkowy warunek: ciąg NIE monotoniczny.
  Obliczmy kolejne wyrazy ciągu x, 2x - 3, 3x dla x1. Wychodzi około:
  0,8; 0,6; 2,4. Ten ciąg jest niemonotoniczny, x1 pasuje.
  Dla x2 wychodzi około:
  11,2; 21, 4; 33,6. To jest ciąg monotoniczny, odrzucamy rozwiązanie x2.
  
  ==================
  
  17.
  Trzeba znaleźć a1 i różnicę r i ułożyć nierówność na an < ileś (albo większe)
  
  a)
  Równania:
  a2 = a1 + r
  a4 = a1 + 3r
  ------------------- odejmujemy stronami
  13 - 5 = 2r więc r = 4, z pierwszego równania mamy a1 = 1
  
  Ogólny wyraz ciągu: an = 1 + 4(n- 1) < 100. Mamy nierówność. Przekształcamy:
  1 + 4n - 4 < 100 więc n < 103 / 4. Bierzemy część całkowitą ze 103/4 czyli 25.
  To jest ostatnie "pasujące" n, czyli zbiór liczb spełniających warunki zadania to:
  [/b]{1, 2, 3, 4, 5, ... 24, 25}[/b]
  Można sprawdzić, że a25 = 1 + 4 * (25-1) = 97 jest < 100, ale a26 już nie.
  
  b)
  Równania:
  a5 = a1 + 4r
  a11 = a1 + 10r
  ------------------- odejmujemy stronami
  2 - (-1) = 6r więc r = 1/2. Wstawiamy do pierwszego równania:
  -1 = a1 + 4 * (1/2) więc a1 = -3
  
  Ogólny wyraz ciągu: an = -3 + (1/2)(n- 1) < 10. Mamy nierówność. Przekształcamy:
  -3 + (1/2)n - 1/2 < 10; stąd wychodzi n < 27. Czyli szukany zbiór liczb to:
  {1, 2, 3, 4, ...., 25, 26}
  Sprawdzamy: a26 = -3 + (1/2) * 25 = 19/2 < 10, zgadza się, ale
  a27 = 10, już NIE spełnia warunku an < 10, bo jest równe.
  
  c)
  a5 = a1 + 4r
  a10 = a1 + 9r
  --------------------- odejmujemy
  -66 - (-31) = 5n co daje r = -7, podstawiamy do pierwszego równania:
  -31 = a1 - 28 czyli a1 = -3
  Ogólny wyraz ciągu: an = -3 - 7(n- 1) > -100. Mamy nierówność. Przekształcamy:
  -3 -7n + 7 - 100 > 0 co daje n < 104 / 7. Bierzemy część całkowitą, równą 14.
  Szukany zbiór to:
  {1, 2, 3, 4.... 13, 14}.
  Sprawdźmy: a14 = -3 - 7*13 = -94, pasuje jest > -100
  a15 = -101 już nie spełnia warunku zadania.
  
  ===========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie