Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.4.2012 (08:55)

  60. Jeśli parabola ma z prostą "y = cośtam" dokładnie 1 punkt wspólny jest to wierzchołek paraboli, którą możemy zapisać w postaci kanonicznej:
  f(x) = A (x - B)^2 + współrzędna y wierzchołka. Do znalezienia pozostanie A, B.
  
  a)
  Współrzędna y wierzchołka to y = 1 więc postać kanoniczna: f(x) = A (x - B)^2 + 1.
  Wykorzystujemy drugą informację z zadania, że dla x = 1 lub x = 3 jest y = -1.
  -1 = A (1 - B)^2 + 1
  -1 = A(3 - B)^2 + 1
  Porównujemy prawe strony. "+1" skraca się i mamy:
  A (1 - B)^2 = A (3 - B)^2
  Z założenia A jest niezerowe. Skracamy A i podnosimy do kwadratu nawiasy.
  1 - 2B + B^2 = 9 - 6B + B^2 ; skracamy B^2
  4B = 8 więc B = 2.
  Podstawiamy B do pierwszego z równań początkowych:
  -1 = A (1 - 2)^2 + 1 więc A = -2
  Postać kanoniczna: f(x) = -2 (x - 2)^2 + 1,
  lub po wymnożeniu nawiasu: f(x) = -2x^2 + 8x -7
  
  b)
  Wsp. wierzchołka to y = 4, a ponieważ wiemy, że y = 8 -2x przechodzi przez wierzchołek, mamy równanie:
  4 = 8 - 2x stąd x = 2.
  Wierzchołek leży w punkcie (2, 4). Wobec tego postać kanoniczna to:
  
  f(x) = A (x - 2)^2 + 4. Pozostaje wyznaczyć A. Zrobimy to z przecięcia prostej z osią X.
  0 = 8 - 2x stąd x = 4. Parabola przechodzi przez punkt (4, 0). Wstawiamy to do postaci kanonicznej:
  0 = A (4 - 2)^2 + 4 czyli 4A + 4 = 0. Stąd A = -1
  
  Postać kanoniczna: f(x) = -(x - 2)^2 + 4
  lub po wymnożeniu nawiasu: f(x) = -x^2 + 4x
  
  c) Prawie tak samo jak (b).
  Wierzchołek y = 8, z równania prostej:
  8 = 2x + 6 więc x = 1, wsp. wierzchołka to (1, 8).
  
  Postać kanoniczna: f(x) = A (x - 1)^2 + 8
  Prosta przecina oś OY w punkcie y = 2 * 0 + 6 = 6, czyli w punkcie (0, 6).
  Podstawiamy do równania paraboli:
  6 = A (0-1)^2 + 8 stąd A = -2
  
  Postać kanoniczna: f(x) = -2(x - 1)^2 + 8
  lub po wymnożeniu nawiasu: f(x) = -2x^2 + 4x + 6
  
  ==============================
  
  61. Nie ma ogólnych wskazówek, zauważ jedynie, że największa wartość w danym przedziale może leżeć na końcu przedziału, niekoniecznie ma to być maksimum.
  a)
  Miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii więc drugie miejsce zerowe to
  x2 = 3
  Możemy zapisać postać tym razem iloczynową:
  
  f(x) = a (x - 3)(x + 1)
  
  Wierzchołek paraboli leży gdzieś pomiędzy -1 i 3, więc nie w przedziale (-6, -5).
  Policzmy f(-6) = a (-6-3)(-6+1) = 45 a
  oraz f(-5) = a(-5-3)(-5-1) = 32 a.
  Zauważmy, że NAJWIĘKSZA wartość funkcji w tym przedziale jest ujemna, równa -32.
  Wobec tego 'a' MUSI być ujemne, a wtedy największa wartość to 32 a, czyli
  32 a = -32 więc a = -1
  
  Postać iloczynowa: f(x) = -(x-3)(x+1)
  lub po wymnożeniu nawiasów: f(x) = -x^2 + 2x + 3
  
  b)
  Jedno miejsce zerowe w x = 2 oznacza funkcję postaci:
  
  f(x) = a (x - 2)^2
  
  Zauważmy, że w podanym przedziale największa wartość jest ujemna, więc 'a' jest ujemne i największa wartość jest dla x = 4, bo funkcja maleje na prawo od x = 2.
  -2 = a (4 - 2)^2 czyli -2 = 4a stąd a = -1/2
  
  Postać iloczynowa: f(x) = -(1/2)(x -2)^2
  lub po wymnożeniu nawiasów: f(x) = -(1/2)x^2 + 2x -2
  
  c)
  Funkcja maleje na prawo od x = 1 więc ma tam wierzchołek. Drugie miejsce zerowe wynosi więc:
  x2 = -1 (ma być symetryczne) i postać iloczynowa to:
  
  f(x) = a (x + 1)(x - 3) ; wiemy, że a jest ujemne do funkcja maleje dla dużych x.
  Wartość największą w podanym przedziale ma funkcja dla x = -6 czyli:
  
  -45 = a (-6 + 1)(-6 - 3) czyli -45 = 45a stąd a = -1.
  
  Postać iloczynowa: f(x) = -(x + 1)(x - 3)
  lub po wymnożeniu nawiasów: f(x) = -x^2 + 2x + 3
  
  ==================================
  
  63.
  a)
  Funkcja ma kształt litery U (bo 'a' jest dodatnie). Wierzchołek ma y ujemny więc funkcja musi mieć
  dwa miejsca zerowe.
  
  b)
  Funkcja ma kształt odwróconego U (bo 'a' jest ujemne). Wierzchołek ma y ujemny więc funkcja
  nie ma miejsc zerowych.
  
  c)
  Funkcja ma kształt litery U (bo 'a' jest dodatnie). Wierzchołek ma y = 0 więc funkcja musi mieć
  jedno miejsce zerowe.
  
  ===================================
  
  63. Na podstawie wzorów Viete'a, czyli w tym wypadku dla a = 1 mamy:
  
  x1 + x2 = -b
  x1 * x2 = c
  
  a)
  Oba pierwiastki dodatnie więc suma i iloczyn dodatnie. b < 0; c > 0
  
  b)
  Pierwiastki różnego znaku więc iloczyn ujemny czyli c < 0.
  Za mało jest informacji, aby określić znak sumy, 'b' - dowolne.
  
  c) Suma dodatnia, iloczyn równy zero więc b < 0; c = 0
  
  =====================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie