Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.4.2012 (12:22)

  zad. 1.
  Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych, co wymagałoby znalezienia prostopadłych do boków i ich przecięcia. Ale chyba łatwiej będzie szukać punktu jednakowo oddalonego od wierzchołków ABC.
  Niech środek ma współrzędne (X, Y). Kwadraty odległości od wierzchołków liczymy z tw. Pitagorasa.
  
  Od A:
  r^2 = (X-(-1))^2 + (Y-(-1))^2 = X^2 + 2X + 1 + Y^2 + 2Y + 1
  Od B:
  r^2 = (X-7)^2 + (Y-3)^2 = X^2 -14X + 49 + Y^2 - 6Y + 9
  Od C:
  r^2 = (X-(-2))^2 + (Y-6)^2 = X^2 - 4X + 4 + Y^2 - 12Y + 36
  
  Od dwóch pierwszych równań odejmujemy stronami trzecie. Skracają się kwadraty X oraz Y i zostaje układ 2 równań:
  
  ~\left\{ \begin{array}{ll} X-7Y+19 = 0\\ -3X + Y+3=0\end{array} \right.
  
  Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy współrzędne środka S = (2, 3)
  
  Kwadrat promienia otrzymujemy np. obliczając kwadrat |BS|
  
  r^2 = (7-2)^2 + (3-3)^2 = 25
  
  Szukane równanie okręgu: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25
  
  ----------------------------------
  
  
  zad. 2.
  Najpierw przerabiamy równanie okręgu na "zwykłą" postać aby znaleźć środek i promień.
  
  x^2 + 2x + y^2 -12y + 12 = (x+1)^2 -1 + (y-6)^2 - 36 + 12
  
  czyli
  
  (x+1)^2 + (y-6)^2 = 25
  
  Dany w zadaniu okrąg ma środek S = (-1, 6) i promień r = 5.
  
  Teraz trzeba środek odbić względem danej w zadaniu prostej. Najpierw znajdujemy prostą prostopadłą do danej, przechodzącą przez S. Taka prosta ma równanie:
  
  y = -(1/2)x + b (współczynnik przy x jest odwrotnością 2 z przeciwnym znakiem).
  Podstawiamy współrzędne S, czyli x = -1, y = 6
  6 = (-1/2) * (-1) + b ; stąd b = 11 / 2.
  Równanie prostej prostopadłej i podanej w zadaniu dają układ równań:
  
  y = -(1/2) x + 11/2
  y = 2x - 2
  
  Rozwiązaniem jest punkt P = (3, 4) przecięcia obu prostych. "Odbijamy" punkt S względem podanej prostej aby dostać S'.
  Oznacza to, że wektor SP = [3 -(-1), 4 - 6] = [4, -2] dodajemy do punktu P i dostajemy środek S' symetrycznego okręgu:
  
  S' = (3+4, 4-2) = (7, 2)
  
  Promień jest oczywiście taki sam, więc równanie tego okręgu to:
  
  (x-7)^2 + (y-2)^2 = 25

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie