Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.3.2012 (08:57)

  Zadanie 2 grupa 1
  Jeśli zdarzenia są niezależne to prawdopodobieństwo ich jednoczesnego zajścia jest iloczynem prawdopodobieństw zajścia każdego z nich z osobna:
  
  p(A n B) = p(A) * p(B)
  
  I odwrotnie: jeżeli powyższy wzór jest spełniony, to zdarzenia są niezależne. I taki test trzeba zrobić w tym zadaniu. Przykład zdarzeń niezależnych to dwukrotny rzut monetą. Szansa na 2 orły wynosi 1/4 i jest iloczynem szansy na orła w pierwszym rzucie (1/2) i w drugim rzucie (też 1/2).
  
  Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie pary liczb {a,b} ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6}. Ilość zdarzeń elementarnych m(Omega) = 36 (tzw "wariacje z powtórzeniami", 6 do kwadratu możliwości, bo jest 6 możliwości za pierwszym rzutem i 6 za drugim).
  
  Zdarzeniem sprzyjającym A jest wyrzucenie sumy oczek równej 8. Ilość tych zdarzeń znajduje się po prostu przez wypisanie wszystkich możliwości - szybciej, niż "arytmetyczne" wyliczenie.
  
  {2,6}; {3,5}; {4,4}; {5,3}; {6,2}; Razem 5 zdarzeń. m(A) = 5.
  
  p(A) = m(A) / m(Omega) = 5 / 36
  
  Zdarzeniem sprzyjającym B jest wyrzucenie liczby podzielnej przez 3 za pierwszym razem (i czegokolwiek za drugim). Takie zdarzenia to np:
  
  {3,1}; {3,4}; {6,2}... Razem 12 sztuk, bo na pierwszym miejscu w parze {a,b} stoi 3 lub 6, a na drugim dowolna liczba całkowita od 1 do 6.
  
  p(B) = 12 / 36.
  
  Iloczyn p(A) * p(B) = (5/36) * (12/36) = 60 / 1296 = 5 / 108
  
  Teraz szansa na jednoczesne zdarzenie A n B. Prawdopodobnie wyjdą zdarzenia zależne, ale zobaczymy. Z par, które wymieniałem przy zdarzeniu A wybieram te, które maję 3 lub 6 na początku
  
  {3,5}; {6,2}; Razem 2 zdarzenia.
  
  (bo jednocześnie musi być wynik 1-go rzutu podzielny przez 3 i suma oczek = 8)
  
  Szansa na p(A n B) = 2 / 36 = 1 / 18.
  
  Wynik jest inny, niż poprzednio (nie martw się, nie da się skrócić 5/108 do 1/18).
  
  Zdarzenia są zależne, czego można było się zresztą spodziewać.
  =====================
  
  Zadanie 2 grupa 2.
  
  Praktycznie identyczne. W zdarzeniu A sprzyjające są wyniki:
  
  {1,6}; {2,5}; {3,4}; {4,3}; {5,2}; {6,1}; Razem 6 zdarzeń. p(A) = 6 / 36
  
  W zdarzeniu B jest 12 zdarzeń (tak jak w zadaniu z grupy 1). p(B) = 12 / 36
  
  p(A) * p(B) = (6/36) * (12/36) = 1 / 18
  
  Jednoczesne A n B spełniają zdarzenia mające 3 lub 6 na drugim miejscu.
  
  {4,3}, {1,6}. p(A n B) = 2 / 36 = 1 / 18
  
  Niespodziewanie wychodzi, że zdarzenia są niezależne !
  Może to zaskakujące, ale da się wyjaśnić. W grupie pierwszej warunek sumy równej 8 wykluczał wyrzucenie jedynki w którymś z rzutów. Wpływało to na możliwość wyrzucenia 3 lub 6, bo były one wybierane z ograniczonego zakresu {2,3,4,5,6}.
  W zadaniu z grupy 2 suma oczek = 7 w żaden sposób NIE ogranicza możliwych rezultatów w drugim rzucie, do każdego wyniku pierwszego rzutu znajdzie się odpowiedni, pasujący w rzucie drugim. Dlatego ten rzut "uniezależnia się" od wyników pierwszego rzutu.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie