Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 2.3.2012 (12:41)

  Mam nadzieje, że dobrze rozumiem Twój zapis (mimo braku nawiasu) ?
  
  f(x) = \frac{2}{1+3e^{-2x}}
  
  Dziedzina: cały zbiór R.
  (exp(x) jest zawsze dodatni, określony na R, w mianowniku nie może być zera).
  
  Miejsca zerowe - BRAK.
  
  Wykres w załączniku. (plik wykres.jpg)
  
  Asymptoty: są dwie poziome
  
  \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = \frac{2}{1+\infty} = 0
  
  \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \frac{2}{1+0} = 2
  
  Pochodna:
  
  f'(x) = \frac{12\,e^{-2x}}{(1+3\,e^{-2x})^2}
  
  Nie ma ekstremów. F'(x) jest > 0, funkcja rośnie monotonicznie.
  
  Druga pochodna (nie wpisuję pośrednich obliczeń bo robię to programem)
  
  f''(x) = \frac{144\,e^{-4x}}{(1+3\,e^{-2x})^3} - \frac{24\,e^{-2x}}{(1+3\,e^{-2x})^2}
  
  Tutaj pojawią się wreszcie jakieś zera. Doprowadzam f''(x) do wspólnego mianownika i porównuję licznik do zera. Dostaję warunek na punkt przegięcia:
  
  e^{2x}-3 = 0 \qquad\mbox{zatem}\qquad x_{przeg} = \frac{1}{2}\ln 3 \,\approx\,0,5493
  
  Jak widać z wykresu (plik wykres2.jpg) f''() jest dodatnia dla x < x_przeg, dalej ujemna.
  Nie pamiętam, która to wypukła, która wklęsła, zawsze mi się to myli.
  ale w każdym razie przedziały wypukłości różnego znaku masz.
  
  To chyba wszystko w tym zadaniu.

  Załączniki

  • wykres.jpg (5 KB)
  • wykres2.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie