Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.2.2012 (21:19)

  1)
  Zrób rysunek. Dorysuj przekątną podstawy. ma ona długość 3 * pierwiastek(2).
  Połowa przekątnej, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny z kątem 60 stopni przy podstawie. Wobec tego wysokość h ostrosłupa wynosi:
  
  h = (1/2) * 3 * pierwiastek(2) * tg(60) = (3/2) * pierwiastek(6)
  
  Objętość V = pole podstawy * h / 3
  
  V = 3 * 3 * (3/2) * pierwiastek(6) / 3 = (9/2) * pierwiastek(6)
  ----------------------
  
  
  2)
  Oznaczam:
  a - krawędź podstawy graniastosłupa lub sześcianu
  h - wysokość graniastosłupa.
  
  Objętość sześcianu to V = a^3 (czytaj "a do potęgi 3", dalej też tego używam).
  Objętość graniastosłupa: h * pole podstawy, a podstawa jest trójkątem równobocznym więc jej pole wynosi a^2 * pierwiastek(3) / 4. Cała objętość graniastosłupa to:
  
  V = h * a^2 * pierwiastek(3) / 4.
  
  Porównuję objętości:
  
  a^3 = \frac{\sqrt{3}}{4}ha^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad h = \frac{4}{\sqrt{3}}a
  
  Teraz liczę pola powierzchni.
  Sześcian: P1 = 6 a^2
  Graniastosłup: P2 = 2 * a^2 * pierwiastek(3) / 4 + 3 * a * h
  Podstawiam obliczone wyżej h i znajduję szukany stosunek P2 / P1
  
  \frac{P_2}{P_1} = \frac{a^2\frac{\sqrt{3}}{2}+ 3a\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}a}{6a^2}
  
  Jak się to przeliczy to wychodzi:
  
  \frac{P_2}{P_1} = \frac{9\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
  
  ------------------------
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie