Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.2.2012 (12:15)

  Jest mniej wahnięć (czyli wydłuża się okres drgań wahadła) gdyż na dnie szybu przyspieszenie ziemskie jest
  mniejsze. Porównam stosunek przyspieszeń na dnie szybu o głębokości h i na powierzchni Ziemi. Przypominam, że jeżeli traktować Ziemię jako jednorodną kulę to wewnątrz Ziemi przyciąga jedynie ta masa,
  która zawarta jest w kuli o promieniu r, gdzie r jest odległością obserwatora od środka Ziemi.
  
  Niech ro będzie gęstością Ziemi. Ze wzoru na przyspieszenie grawitacyjne 'a' dostaję:
  
  a = \frac{GM}{r^2} = \frac{G\cdot(4/3)\pi r^3\rho}{r^2} = \frac{4}{3}G\rho r
  
  Powyżej podstawiłem masę M jako gęstość ro razy objętość kuli o promieniu r. Jak widać wewnątrz Ziemi przyspieszenie 'a' zależy liniowo od odległości od jej środka.
  
  Teraz mogę porównać przyspieszenie 'a' na głębokości h z przyspieszeniem g na powierzchni:
  
  \frac{a}{g} = \frac{\frac{4}{3}G\rho (R-h)}{\frac{4}{3}G\rho R} = \frac{R-h}{R}
  
  Teraz obliczę ten sam stosunek z okresów drgań wahadła. Na powierzchni okres T wynosi Tz / n, gdzie n jest podaną liczbą n = 1803. Na głębokości h okres T' = Tz / (n-1). Stosunek okresów wynosi więc:
  
  \frac{T}{T'} = \frac{\frac{T_z}{n}}{\frac{T_z}{n-1}} = \frac{n-1}{n}
  
  Ze wzoru na okres drgań wahadła o długości L też mam stosunek okresów:
  
  \frac{T}{T'} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}}{2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{a}{g}}
  
  Mam stosunek a/g w powyższym równaniu, miałem go też poprzednio jako (R-h)/R. Z drugiej strony mam stosunek okresów jako (n-1)/n. Łączę te informacje w jeden wzór:
  
  \frac{n-1}{n} = \sqrt{\frac{R-h}{R}}
  
  Podnoszę do kwadratu i mnożę przez R obie strony:
  
  \frac{(n-1)^2}{n^2}\,R = R - h
  
  stąd dostaję, po zamienieniu R na 6380000 m
  
  h = R\,\left(1 - \frac{(n-1)^2}{n^2}\right) = 6380000\cdot\left(1 - \frac{(1803-1)^2}{1803^2}\right) \,\approx\, 7075\,\mbox{m}
  
  Głębokość szybu to nieco ponad 7000 m = 7 km.
  
  Jeżeli Czytelniczka zna ten wzór z gęstością to nie trzeba go wyprowadzać i rozwiązanie będzie dużo krótsze.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie