Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 21.2.2012 (07:51)

  1. Prawdopodobieństwo geometryczne. Odcinek z punktami A, B wygląda tak:
  
  0------A----------------B--------------------------1
  lub
  0-----------B------------------A-------------------1
  
  Narysuj układ współrzędnych i kwadrat (0,0), (0,1) (1,0) (1,1).
  Pole kwadratu = 1. Oznacz osie współrzędnych literami A (poziomą) i B (pionową).
  Punkty (x,y0 wewnątrz kwadratu reprezentują zdarzenia elementarne.
  Pole kwadratu = 1.
  
  Narysuj odcinki równoległe do boków kwadratu odległe od nich o 'a'
  (wybierz małe a, np 1/6). Wycinają one mniejszy kwadrat spełniający warunki:
  0A > a, 0B > a, A1 > a, B1 > a.
  Możesz zamalować zabronione obszary.
  
  Teraz trzeba jeszcze narysować warunek |A - B| > a
  Jeśli A - B > 0 to powyższa nierówność oznacza B < A - a
  Narysuj linię B = A - a. Przechodzi ona przez (a,0) i (1,1-a).
  Nierówność spełniają punkty poniżej tej linii (w trójkącie)
  Jednocześnie punkty te spełniają warunek B < A.
  
  Jeśli A - B < 0 to powyższa nierówność oznacza B > A + a
  Narysuj linię B = A + a. Przechodzi ona przez (0,a) i (1-a,1).
  Nierówność spełniają punkty powyżej tej linii (w trójkącie).
  Jednocześnie punkty te spełniają warunek B > A.
  
  Obszar pomiędzy prostymi możesz zakreskować. On odpada.
  Pozostają dwa trójkąty o przyprostokątnych równych 1 - 3a (sprawdź na rysunku).
  Ich łączne pole to (1 - 3a)^2.
  
  Wobec tego szukane prawdopodobieństwo wynosi:
  
  p(X) = pole trójkątów / 1 = (1 - 3a)^2.
  
  Jak widać dla a = 1/3 mamy p(X) = 0, dla a = 0 jest p(X) = 1.
  ----------------------------
  
  
  2.
  2.Po 5 rzutach symetryczną monetą okazało się, że liczba uzyskanych orłów jest mniejsza od 2.Jakie jest prawdopodobieństwo że wyrzucono dokładnie1 orła?
  
  2. Prawdopodobieństwo warunkowe.
  
  p(A | B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}
  
  Tutaj:
  A | B = dokładnie 1 orzeł pod warunkiem, że liczba orłów jest mniejsza od 2.
  A razy B - dokładnie 1 orzeł
  B - liczba orłów jest mniejsza od 2.
  
  Ze schematu Bernouliego liczę prawd. otrzymania 0 lub 1 orła w 5 rzutach
  
  p(0) = {5 \choose 0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{64}
  
  p(1) = {5 \choose 1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{64}
  
  i teraz mam p(B) = p(0) + p(1) natomiast p(A razy B) = p(1). Więc:
  
  p(A | B) = \frac{4/64}{1/64 + 4/64} = \frac{4}{5}
  
  Odpowiedź: Wynik zadania to 4/5.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie